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2019-2020年高一下学期4月月考数学试题(III)一、选择题1若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交【答案】B2图131是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且ABBC1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是()A1B C D【答案】C3已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：lm；lm；lm；lm，其中正确的命题是()ABCD【答案】B4l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【答案】B5已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()Am，n，m，nB，m，nmnCm，mnnDnm，n m【答案】D6已知a，b表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，a，b，则abB若a，a与所成角等于b与所成角，则abC若a，ab，则bD若a，b，则ab【答案】D7已知a、b、l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列四个命题： 若且则；若a、b相交，且都在外，则；若，则；若则.其中正确的是（ ）ABCD【答案】B8已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()ABC D【答案】D9已知直线l平面，直线m平面，给出下面有四个命题：lm; lm；lm； lmm与不相交则其中正确的命题为()ABCD【答案】D10已知直线，平面，且，给出下列四个命题：若/，则；若若，则；若其中正确命题的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】C11在正四面体ABCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动(P不与A，M重合)，过点P作直线l平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：BC平面AMD；Q点一定在直线DM上；VCAMD4其中正确的是()ABCD【答案】A12已知m，n是不同的直线，、是不同的平面，则下列条件能使成立的是( ）ABCD【答案】B二、填空题13已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m，n是异面直线，则n与相交；若m，nm，且n，n，则n且n.其中正确命题的序号是_(把所有正确命题的序号都填上)【答案】14 在空间中，可以确定一个平面的条件是_(填写相应的序号)一条直线；不共线的三个点；一条直线和一个点；两条直线【答案】15 已知直线a，b与平面，能使的条件是_(填序号)，；a，ba，b；a，a；a，a.【答案】16如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.求证：平面AB1C平面A1BC1.【答案】因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1，又已知B1CA1B，且A1BBC1=B，所以B1C平面A1BC1，又B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.三、解答题17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点(1)求证：CD平面A1ABB1；(2)求证：AC1平面CDB1.【答案】(1)ABCA1B1C1是直三棱柱，平面ABC平面A1ABB1，ACBC，点D是AB的中点，CDAB，平面ABC平面A1ABB1AB，CD平面A1ABB1.(2)连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE，则E为BC1的中点D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.18如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1.(1)求证：BC1AB1；(2)求证：BC1平面CA1D.【答案】如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，所以0440，因此，故BC1AB1.(2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又(0，2，2)，所以，且ED和BC1不共线，则EDBC1，又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.19如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将PDC折起，使平面PDC平面ABCD(图(2) (1)求证：AP平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，试给出证明【答案】(1)证明E、F分别是PC，PD的中点，EFCDAB.又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.同理：EG平面PAB.平面EFG平面PAB.又AP平面PAB，AP平面EFG.(2)解取PB的中点Q，连结AQ，QD，则PC平面ADQ.证明如下：连结DE，EQ，E、Q分别是PC、PB的中点，EQBCAD.平面PDC平面ABCD，PDDC，PD平面ABCD.PDAD，又ADDC，AD平面PDC.ADPC.在PDC中，PDCD，E是PC的中点DEPC，PC平面ADEQ，即PC平面ADQ.20如图，已知三棱锥ABPC中，APPC， ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形。(1）求证：DM平面APC； (2）求证：平面ABC平面APC；(3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积 【答案】（1）由已知得，是ABP的中位线 (2）为正三角形，D为PB的中点，又 又 平面ABC平面APC (3）由题意可知，是三棱锥DBCM的高， 21如图134，在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，CDAB，D为垂足沿CD将ABC对折，连接AB，使得AB(1)对折后，在线段AB上是否存在点E，使CEAD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由；(2)对折后，求二面角BACD的平面角的正切值图134【答案】(1)在线段AB上存在点E，使CEAD.由等腰直角ABC可知对折后，CDAD，CDBD，ADBD1.在ABD中，cosADB，ADB120，BADABD30.如图，过D作AD的垂线，与AB交于点E，点E就是满足条件的唯一点理由如下：连接CE，ADDE，ADCD，DECDD，AD平面CDE，ADCE，即在线段AB上存在点E，使CEAD.在RtADE中，DAE30，AD1，得AE(2)对折后，如图，作DFAC于F，连接EF，CDAD，CDBD，ADBDD，CD平面ADB，平面ACD平面ADB.DEAD，且平面ACD平面ADBAD，ED平面ACD.而DFAC，所以AC平面DEF，即DFE为二面角BACD的平面角在RtADE中，DAE30，AD1，得DEADtanDAE1，在RtADF中，DAF45，AD1，得FDADsinDAF1在RtEDF中，EDF90，tanDFE，即二面角BACD的平面角的正切值等于22如图，矩形BCC1B1所在平面垂直于三角形ABC所在平面，且BB1CC1AC2，ABBC又E，F分别是C1A和C1B的中点(1)求证：EF平面ABC；(2)求证：平面EFC1平面C1CBB1.【答案】(1)在C1AB中，E，F分别是C1A和C1B的中点，EFAB，AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)平面BCC1B1平面ABC，且BCC1B1为矩形，BB1AB，又在ABC中，AB2BC2AC2，ABBC，AB平面C1CBB1，平面EFC1平面C1CBB1.
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