2019-2020年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第07讲 函数的奇偶性的判断和证明.doc

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2019-2020年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第07讲 函数的奇偶性的判断和证明【知识要点】一、函数的奇偶性的定义对于函数,其定义域关于原点对称,如果恒有,那么函数为奇函数;如果恒有,那么函数为偶函数.二、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称;2、 偶函数的图像关于轴对称,奇函数的图像关于原点对称;3、偶函数在对称区间的增减性相同,奇函数在对称区间的增减性相反;4、 奇函数在原点有定义时,必有.三、判断函数的奇偶性的方法判断函数的奇偶性的方法,一般有三种:定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数.2、和差判别法对于函数定义域内的任意一个,若,则是奇函数;若,则是偶函数.3、 作商判别法对于函数定义域内任意一个,设,若,则是奇函数,则是偶函数.【方法讲评】 方法一定义法使用情景具体函数和抽象函数都适用.解题步骤首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数.【例1】判断下列函数的奇偶性.(1) (2) 【点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称,是函数为奇偶函数的必要非充分条件.(3)函数的定义域求出来之后,还要注意在解题中应用,不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简. 【例2】 定义在实数集上的函数,对任意,有且求证: 求证:是偶函数【解析】证明:令,则 令,则 是偶函数【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断,和具体函数的判断方法一样,不同的是,由于它是抽象函数,所以在判断过程中,多要利用赋值法,常赋一些特殊值,如等. 【例3】判断函数的奇偶性 【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断,也是要先看函数的定义域,再考虑定义,由于它是分段函数,所以要分类讨论. (2)注意,当求要代入下面的解析式,因为,不是还代入上面一段的解析式. 【反馈检测1】已知 (1)判断的奇偶性; (2)求的值域 【反馈检测2】已知函数定义域为,若对于任意的,都有,且时,有.(1)证明函数是奇函数;(2)讨论函数在区间上的单调性;(3)设,若,对所有,恒成立,求实数的取值范围. 方法二和差判别法使用情景一般与对数函数指数函数有关.解答步骤对于函数定义域内的任意一个,若,则是奇函数;若,则是偶函数.【例4】判断函数的奇偶性. 【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式,但是利用定义判断,计算较为复杂,利用和差判别法可以化繁为简,简捷高效.【反馈检测3】已知函数.(1)求的定义域; (2)判定的奇偶性;(3)是否存在实数,使得的定义域为时,值域为?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由. 【例5】判断函数的奇偶性.【解析】由题得,因为,所以,所以是偶函数.【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式,但是利用定义判断,计算较为复杂,利用和差判别法可以化繁为简,简洁高效. 方法三作商判别法使用情景一般含有指数函数运算.解答步骤对于函数定义域内任意一个,设,若,则是奇函数,则是偶函数.【例6】 证明函数是奇函数. 【点评】作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式,但是利用定义判断,计算较为复杂,利用作商判别法可以化繁为简,简捷高效. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第07讲:函数的奇偶性的判断和证明参考答案 【反馈检测1答案】(1)奇函数;(2) 【反馈检测2答案】(1)奇函数;(2)单调递增函数;(3)或.【反馈检测2详细解析】(1)因为有,令,得,所以, 令可得: 所以,所以为奇函数. (2)是定义在上的奇函数,由题意设,则由题意时,有,是在上为单调递增函数; (3)因为在上为单调递增函数,所以在上的最大值为, 所以要使,对所有恒成立,只要,即, 令由 得,或. 【反馈检测3答案】(1)定义域为;(2)在定义域上为奇函数;(3). 即是方程的两个实根,于是问题转化成关于的方程上有两个不同的实数解.令 则有:故存在这样的实数符合题意.
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