资源描述
1了解数列的概念和几种简单的表示方法 2了解数列是自变量为正整数的一类函数 3能在具体的问题情境中，识别数列的等差、等比关系，并能用有 关知识解决相应的问题,第5课时 数列的综合应用,【命题预测】,有关等差、等比数列的考查在高考中主要是探索题、综合题和应用 题考生应具有针对 性地进行训练，并从“注重数学思想方法、强化运算能力、重点知识重 点练”的角度做 好充分准备同时，对于数列与解析几何的综合题型要予以充分重视,【应试对策】,1在解决有关数列的具体应用问题时： (1)要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西； (2)准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型； (3)根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果； (4)最后再回到实际问题中去，从而得到答案,2在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：(1)直接用公式求 和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程 (2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和 (3)求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通,3在用观察法归纳数列的通项公式(尤其是在处理客观题目时)时，要注 意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论,【知识拓展】,1求由递推公式所确定的数列的通项，通常可通过对递推关系的一系列变换， 构造出一个新数列，转化成等差或等比数列或与之类似的问题来求解 (1)递推式为an1panqn(其中p，q是常数)通常可以两边同时除以 qn1(q0)，得到数列 ，令bn ，得到数列bn1 ，从而问题可解,(2)递推式为an2pan1qan(其中p，q是常数)，通常设 ，则可由p，q，求得，从而构 造出数列 得以求解 (3)递推式为Sn与an间的关系式时，通常要考虑利用an 将已 知关系转化为an或Sn的项间的关系，从而求解,1数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一 个数叫做这个数列的项 2数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项(或首项)，排在第二位的 数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项 3数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an 4数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列 5数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式,6数列的递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一 项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 递推公式,8数列作为特殊的函数，在解决实际问题过程中有着广泛的应 用，如人口增长问题、存款利率问题、分期付款问题利用等差数列和等比数列还可以解决一些简单的已知数列的递推关系求其通项公式等问题,7数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法,1某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6 个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律进行下去， 6小时后细胞存活的个数是_ 解析：设开始的细胞数和n小时后的细胞数构成的数列为an 则 即 2.则an1构成等比数列 an112n1，an2n11，a765. 答案：65,2已知等差数列an的公差为2，且a1a4a7a9750，则a3 a6a9a99_. 解析：a3a6a9a99(a1a4a7a97)33(4) 50(132)82. 答案：82,3数列an中，若a1 ，an (n2，nN)，则a2 007的值为_ 解析：a1 ，a22，a31，a4 ，可推测数列an以3为周期， 2 0073669，a2 007a31.也可直接推出an3an. 答案：1,4在数列an中，已知a11，a25，an2an1an(nN*)， 则a2 007等于_ 解析： an3an， an6 an3an.即an是周期为 6的数列 a2 007a63343a3a2a14. 答案：4,5北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现 有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新的 车辆数约为现有总车辆数的_(参考数据1.141.46,1.151.61) 解析：设市内全部出租车辆为b,2003年底更新的车辆为a，则2004年更新的 车辆为a(110%)，2005年更新的车辆为a(110%)2,2006年更新的车辆为 a (110%)3,2007年更新的车辆为a(110%)4，由题意可知： aa(110%) a(110%)2a(110%)3a(110%)4b， a(11.11.121.131.14)bab， 16.4%.故2003年底更新的车辆数约为现有总车辆数的16.4%. 答案：16.4%,1等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是 等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项，等比中项 问题是历年命题的热点 2利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值同时对两种数列的 性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解 题时有时还需利用条件联立方程求解,【例1】 设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和， 已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列 (1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数 列bn的前n项和Tn. 思路点拨：(1)由已知列出方程组求出公比q与首项a1； (2)结合对数的运算，判断数列bn是等差数列，再求和,解：(1)由已知得： 解得a22. 设数列an的公比为q，由a22，可得a1 ，a32q，又S37， 可知 22q7， 即2q25q20.解得q12，q2 . 由题意得q1，q2.a11.故数列an的通项为an2n1. (2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n. bnln 23n3nln 2，又bn1bn3ln 2，bn是等差数列 Tnb1b2bn ln 2.故Tnln 2.,【例2】 已知f(x)logax(a0且a1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)(nN*)是首项 为4，公差为2的等差数列 (1)设a为常数，求证：an成等比数列； (2)若bnanf(an)，bn的前n项和是Sn，当a 时，求Sn. 思路点拨：利用函数的有关知识得出an的表达式，再利用表达式解决 其他问题,解：(1)证明：f(an)4(n1)22n2，即logaan2n2，可得ana2n2. a2(n2)，为定值an为等比数列 (2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2. 当a 时，bn(2n2)( )2n2(n1)2n2. Sn223324425(n1)2n2 2Sn224325426n2n2(n1)2n3 得Sn22324252n2(n1)2n3 16 (n1)2n3162n324n2n32n3 n2n3.Snn2n3.,变式1：已知实数列an是等比数列，其中a71，且a4，a51，a6成等差 数列 (1)求数列an的通项公式； (2)数列an的前n项和记为Sn，证明Sn128(n1,2,3，),解：(1)设等比数列an的公比为q(qR)， 由a7a1q61，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1q4q2， a6a1q5q1. 因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)， 即q3q12(q21)，q1(q21)2(q21) 所以q .故ana1qn1q6qn164 n1. (2)证明：Sn 128.,2已知数列an满足a12，且点(an，an1)在函数f(x)x22x的图象 上，其中n1,2,3，. (1)证明：数列lg(1an)是等比数列； (2)设Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及数列an的通项,解：(1)证明：由已知an1 2an，an11(an1)2.a12，an11， lg(an11)2lg(an1)数列lg(an1)是公比为2的等比数列 (2)由(1)知 Tn ，an,解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列类型： (1)如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列， 或与等差、等比有关的数列等)，应首先找出数列的通项公式 (2)如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立 数列的递推关系(即an与an1的关系) (3)解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题， 必须确定起算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”,【例3】 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设， 并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将会 比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游 业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .,(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出 an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 思路点拨：(1)写出a1，b1，a2，b2，由此得出an，bn的表达式 (2)解不等式bnan0，求n的最小值,解：(1)第1年投入800万元，第2年投入为800 万元，第n年投入为800 n1万元，所以，n年内的总投入an800800 800n14 000 . 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400 万元， 第n年旅游业收入为400 n1万元所以，n年内的旅游业总收入 bn400400 400 n11 600 .,(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0， 即1 600 4 000 0，化简得，5 n2 n 70， 设x n，代入上式得5x27x20， 解此不等式，得x ，x1(舍去)，即 n ，由此得n5. 至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入,变式3：如下图所示，在一直线插有13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？,解：设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面处，共走路程为 10(x1)，然后回到第二面处再到第x面处是20(x2)，从第x面处到第(x1)面处的路程为20，从第x面处到第(x2)面取旗再到第x面处，路程为202，总的路程为S10(x1)20(x2)20(x3)2022012020220(13x),10(x1)20 20 10(x1)(x2)(x1) (13x)(14x)10(2x229x183) 20 xN*，x7时，S有最小值S780(m)将旗集中到第7面小旗处， 所走路程最短.,1深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关 键两类数列性质有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记 忆同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错 2等比数列的前n项和公式要分两种情况，公比等于1和公比不等于1， 最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习 3在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程 组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处,【规律方法总结】,4数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优 化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和 方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思 想方法有：“函数与方程”“数形结合”“分类讨论”“等价转换”等 5在现实生活中，人口的增长，产量的增加、成本的降低、存贷款利息的 算、分期付款问题等，都可以利用数列解决，因此要会在实际问题中抽象出数 学模型，并用它解决问题.,【高考真题】,【例4】 (2009全国卷)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式 分析：本题第(1)问将an2Sn2Sn1代入可以得到an的递推式，再用 bnan12an代入即证；第(2)问将bn的通项公式代入bnan12an，可得an的递推式，再依照题型模式求解即可,规范解答：(1)由已知得a1a24a12，解得a23a125， 故b1a22a13. 又an2Sn2Sn14an12(4an2) 4an14an， 于是an22an12(an12an)， 即bn12bn. 因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列,(2)由(1)知等比数列bn中b13，公比q2， 所以an12an32n1，于是 因此数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， 所以an(3n1)2n2.,【命题探究】,【全解密】,求解等差、等比数列的通项公式是高考的常考题型但是，作为以“能力立意”为命题思路的高考试题，往往会在试题的命制上对考生的思维能力提出更高的要求本题的命题构思非常简捷，给出数列an的初始值a11和一个递推关系式Sn14an2，由此可以探究数列an的通项公式，但思维的跨度较大，且考查形式单一于是，命题人设计了一个过渡关系式bnan12an，由此可以考查等比数列,【误点警示】,本题的求解过程有两个常见的思维错误： (1)由于在平时的学习中，我们常常接触到an与Sn的递推式an SnSn1(n2，nN*)，于是没有注意到本题的题目形式特点， 将anSnSn1直接代入，从而出现下标的混乱其实只要将an1 Sn1Sn(nN*)代入就不会使下标不一致了所以注意下标的特点是求 解这类问题的关键,(2)得到递推式an12an32n1后，不会转化成等差数列 求解，只是看到等式右边是一个等比数列的形式，可以求和，于是结合平时的做题经验，企图利用叠加法求和，使计算繁琐且不能成功所以我们在平时的学习时要注意积累并理解常见题型的特点、求解的基本思路和方法，高考时才不会出现思维混乱，顾此失彼.,1设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2，) (1)求q的取值范围； (2)设bnan2 an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小 分析：对于第一个问题，应依据等比数列的前n项和公式将和表示出 来，从而问题转化为解不等式；对于第二个问题，要注意两个数列间的 关系，表示出bn，从而找到两个数列的前n项和间的关系，从而比较其大小,解：(1)由于数列an是等比数列，且Sn0，a1S10，q0， 当q1时，Snna10；当q1时，Sn 0， 即 0(n1,2,3，)， 上式等价于 ，(n1,2,3，)， 或 ，(n1,2,3，)， 解，得q1；解，由于n可为偶数，得1q1. 综上所述，q的取值范围是(1,0)(0，),(2)由bnan2 an1，得bnan ，Tn Sn 于是TnSnSn (q2)Sn，又Sn0， 且1q0或q0， 当1q 或q2时，TnSn0即TnSn； 当 q2且q0时，TnSn0，即TnSn； 当q或q2时，TnSn0，即TnSn.,2已知an，bn为两个数列，点M(1,2)，An(2，an)，Bn 为平面直 角坐标系上的点 (1)对nN*，若点M，An，Bn在同一直线上，求数列an的通项an； (2)在(1)的条件下若数列an满足 2n3(nN*)，求数列bn的 前n项和Sn. 分析：三点共线可以利用斜率相等列出等式，求出数列an的通项an.,解：(1)由题设知kMAnkMBn，由斜率公式得 ，解得an 2n(nN*) (2)由题设知a1a2ann(n1)，条件中的等式可化为 a1b1a2b2anbnn(n1)(2n3)， 有a1b1a2b2an1bn1(n1)n(2n5) 得bn3n4(n2)当n1时，a1b112(1)，得b11. bn3n4(nN*) bn1bn3(nN*)则数列bn是公差为3的等差数列 Sn,
展开阅读全文