2019-2020年高三第一次模拟考试数学试题.doc

2019-2020年高三第一次模拟考试数学试题参考公式：圆锥的侧面积Srl(r为底面半径，l为母线长)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程 1. 已知集合A1，2，3，B2，4，5)，则集合AB中元素的个数为_ 2. 复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则|z|是_ 3. 若圆锥底面半径为2，高为，则其侧面积为_ 4. 袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_ 5. 将函数y5sin的图象向左平移个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则_ 6. 数列an为等比数列，且a11，a34，a57成等差数列，则公差d等于_ 7. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集为_ 8. 双曲线1的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为_ 9. 圆心在直线y4x上，且与直线xy10相切于点P(3，2)的圆的标准方程为_10. 已知椭圆1(m，n为常数，mn0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则_11. 定义在的函数f(x)8sinxtanx的最大值为_12. 不等式logaxln2x0，且a1)对任意x(1，1 00)恒成立，则实数a的取值范围为_13. 已知函数y与函数y的图象共有k(kN*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，Ak(xk，yk)，则 (xiyi)_14.已知不等式(mn)2(mlnn)22对任意mR，n(0，)恒成立，则实数的取值范围为_二、 解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知向量m(cos，1)，n(2，sin)，其中，且mn.(1) 求cos2的值；(2) 若sin()，且，求角.16. (本小题满分14分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBCECAA1.求证：(1) AC1平面BDE；(2) A1E平面BDE.17. (本小题满分14分)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC200m，斜边AB400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1) 若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2) 设CEF，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且DEF，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离 18. (本小题满分16分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1) 求椭圆C的方程；(2) 直线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为H，O为坐标原点且OH1，求POQ面积的最大值19. (本小题满分16分)已知nN*，数列an的各项均为正数，前n项的和为Sn，且a11，a22，设bna2n1a2n.(1) 如果数列bn是公比为3的等比数列，求S2n；(2) 如果对任意nN*，Snn,2)恒成立，求数列an的通项公式；(3) 如果是S2n3(2n1)，数列anan1也为等比数列，求数列an的通项公式20. (本小题满分16分)已知函数f(x)xlnx，g(x)(x21)(为常数)(1) 已知函数yf(x)与yg(x)在x1处有相同的切线，求实数的值；(2) 如果，且x1，证明：f(x)g(x)；(3) 若对任意x1，)，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数的取值范围xx高三年级第一次模拟考试(镇江市)21.【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲如图，已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是APB的平分线，E是的中点求证：直线PC经过点E. B. 选修42：矩阵与变换已知实数a，b，矩阵A对应的变换将直线xy10变换为自身，求a，b的值C. 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，求圆2cos的圆心到直线2sin1的距离D. 选修45：不等式选讲已知a0，b0，证明：(a2b2ab)(ab2a2b1)9a2b2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，E是棱PC的中点(1) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(2) 若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的正弦值 23. (本小题满分10分)已知函数f1(x)，对任意正整数n，有fn1(x)，求方程fn(x)2x的所有解xx高三年级第一次模拟考试(镇江市)数学参考答案一、 填空题1. 52. 53. 64. 5. 6. 37. (5，0)(5，)8. 19. (x1)2(y4)2810. 2nm11. 312. (0，1)13. 214. 1二、 解答题15. 解：法一(1) 由mn得，2cossin0，sin2cos，(2分)代入cos2sin21，5cos21且，则cos，sin，(4分)则cos22cos2121.(6分)(2) 由，得，.因sin()，则cos().(9分)则sinsin()sincos()cossin()(12分)因，则.(14分)法二(1) 由mn得，2cossin0，tan2，(2分)故cos2cos2sin2.(4分)(2) 由(1)知，2cossin0，且cos2sin21，则sin，cos，(6分)由，得，.因sin()，则cos().(9分)则sinsin()sincos()cossin()(12分)因，则.(14分)16. 证明：(1) 连结AC交BD于O，连结OE.在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD长方形，点O为AC的中点，(2分)AA1CC1且AA1CC1，由ECAA1，则ECCC1，即点E为CC1的中点，于是在CAC1中，AC1OE.(4分)又因为OE平面BDE，AC1平面BDE.所以AC1平面BDE.(6分)(2) 连结B1E.设ABa，则在BB1E中，BEB1Ea，BB12a，所以BE2B1E2BB，所以B1EBE.(8分)由ABCDA1B1C1D1为长方体，则A1B1平面BB1C1C，BE平面BB1C1C，所以A1B1BE.(10分)因B1EA1B1，B1E平面A1B1E，A1B1平面A1B1E，则BE平面A1B1E.(12分)又因为A1E平面A1B1E，所以A1EBE.同理A1EDE.又因为BE平面BDE，DE平面BDE，所以A1E平面BDE.(14分)17. 解：(1) 依题意得BD300， BE100，在ABC中，cosB， B，(2分)在BDE中，由余弦定理得：DE2BD2BE22BDBEcosB30021002230010070 000， DE100.(6分)答：甲乙两人之间的距离为100m.(7分)(2) 由题意得EF2DE2y，BDECEF，在直角三角形CEF中，CEEFcosCEF2ycos，(9分)在BDE中，由正弦定理得，即， y，02，且an01(0，1)，则an01an021，则由(*)式知，an01an021，则an020，矛盾故anan11对任意的nN*恒不成立，所以anan11对任意的nN*恒成立(8分)因此an是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an1(n1)n.(10分)(3) 因数列anan1为等比数列，设公比为q，则当n2时，q.即a2n1，a2n是分别是以1，2为首项，公比为q的等比数列；(12分)故a3q，a42q.令n2，有S4a1a2a3a412q2q9，则q2.(14分)当q2时，a2n12n1，a2n22n12n，bna2n1a2n32n1，此时S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)b1b2bn3(2n1)综上所述，an(16分)20. 解：(1) f(x)lnx1，则f(1)1且f(1)0.(1分)所以函数yf(x)在x1处的切线方程为：yx1，(2分)从而g(1)21，即.(4分)(2) 由题意知：设函数h(x)xlnx(x21)，则h(x)lnx1x.(5分)设p(x)lnx1x，从而p(x)10对任意x1，)恒成立，(6分)所以p(x)lnx1xp(1)0，即h(x)0，因此函数h(x)xlnx(x21)在1，)上单调递减，(7分)即h(x)h(1)0，所以当x1时，f(x)g(x)成立(8分)(3) 设函数H(x)xlnx(x21)，从而对任意x1，)，不等式H(x)0H(1)恒成立又H(x)lnx12x，当H(x)lnx12x0，即2恒成立时，函数H(x)单调递减(10分)设r(x)，则r(x)0，所以r(x)maxr(1)1，即12，符合题意；(12分)当0时，H(x)lnx12x0恒成立，此时函数H(x)单调递增于是，不等式H(x)H(1)0对任意x1，)恒成立，不符合题意；(13分)当01(14分)当x时，q(x)20，此时q(x)H(x)lnx12x单调递增，所以H(x)lnx12xH(1)120，故当x时，函数H(x)单调递增于是当x时，H(x)0成立，不符合题意；(15分)综上所述，实数的取值范围为：.(16分)21. A. 证明：连接AE，EB，OF，由题意知AOEBOE90，(2分)因为APE是圆周角，AOE是同弧上的圆心角，所以APEAOE45，(4分)同理可得，BPEBOE45，(6分)所以PE是APB的平分线，(8分)PC是APB的平分线，所以PC与PE重合，所以直线PC经过点E.(10分)B. 解：设直线xy10上任意一点P(x，y)在变换TA的作用下变成点P(x，y)，由，得(2分)因为P(x，y)在直线xy10上，所以xy10，即(1b)x(a3)y10，(4分)又因为P(x，y)在直线xy10上，所以xy10.(6分)因此(8分)解得：a2，b2.(10分)C. 解：圆2cos的直角坐标方程为x2y22x，(2分)即(x1)2y21，圆心为(1，0)；(4分)直线2sin1的直角坐标方程为21，(6分)即xy10(8分)故圆心到直线的距离为d(10分)D. 证明：因为a0，b0，由均值不等式知a2b2ab33ab；(4分)ab2a2b133ab；(8分)两式相乘可得(a2b2ab)(ab2a2b1)9a2b2(10分)22. (1) 以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，由E为棱PC中点，得E(1，1，1)，故(0，1，1)，(1，2，0)，(1，0，2)，(1分)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则n，n，即不妨令y1，可得n(2，1，1)为平面PBD的法向量，(3分)于是cosn，.(4分)所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(5分)(2) (1，2，0)，(2，2，2)，(2，2，0)，(1，0，0)，由点F在棱PC，设，01，故(12，22，2)，由BFAC，得0，因此2(12)2(22)0，解得，(7分)即，设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则n10，n10，即不妨令z1，可得n1(0，3，1)为平面FAB的方向向量，(8分)取平面ABP法向量n2(0，1，0)，cosn1，n2，(9分)即sinn1，n2.故二面角FABP的正弦值为.(10分)23. 证明：(1) 当n1时，2x0，解得x216，又x0，故x4是方程的解；(2分)(2) 假设x4是fk(x)2x的解，即fk(4)8，则nk1时，fk1(4)824综合(1)，(2)可知x4是fk1(x)2x的解；(4分)另一方面，当n1时，y在(0，)上单调递减；(6分)假设nk时，y在(0，)上单调递减，则nk1时，y在(0，)上单调递减，故nk1时，y在(0，)上单调递减，(8分)所以，y在(0，)上单调递减，则2在(0，)上至多一解；综上：x4是fn(x)2x的唯一解(10分)