资源描述
了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率/了解几何概型的意义了解两个互 斥事件的概率加法公式及对立事件的概率公式并能简单应用,第5课时 几何概型、互斥事件,1高考中对几何概型、互斥事件的考查，一般多以填空题的形式出现，有时与 统计、几何的知识结合起来，要求考生要有较扎实、全面的基础知识 2对几何概型的有关内容在教材中是个难点，是高考试题中的新题型，在复习 中要适当增加针对性,【命题预测】,3有关互斥事件概率、等可能事件的题型有时也会以解答题的形式出现，在复 习中应注意加强互斥事件的定义以及应用加法公式的题目对古典概型的有 关内容在教材中是个难点，是高考试题中的新题型，在复习中要适当增加对 这部分知识的练习 4有关概率的题目多为应用题型，这些应用题的背景与实际生活密切相关，在 复习中要注意培养学数学用数学的意识和实践能力,1从概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于 每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小与该区域的度量成正比，而与该区域的位置与形状无关对于一个具体问题能否应用几何概型的概率计算公式，关键在于能否将问题几何化也可根据实际问题的具体情况，选择适当的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域,【应试对策】,2几何概型与古典概型的两个特征要注意对比，以便准确地将实际问题转化为相应的概率类型即古典概型适用于计算所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形，但它们的解题思路是相同的，同属于“比例解法”在解答几何概型时，要把基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应起来，其中基本事件中的每一个基本事件与这个特定的几何区域中的点一一对应几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的度量成比例；试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等当子区域r和几何区域R是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域r和几何区域R是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“度量”，则P(A)子区域r的度量/区域R的度量,3了解互斥事件与对立事件的区别与联系，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，在解题过程中要注意运用符号语言、概率语言将题目转化为数学问题求复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接求解法先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P( )求出此事件的概率特别是解决“至多”、“至少”型的题目，用方法二就显得比较方便,互斥事件与对立事件的区别与联系 (1)互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两 个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有 一个发生因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 (2)从集合的角度去认识互斥事件和对立事件：如果A、B是两个互斥事件，反 映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集为空集 如果A与B是两个对立事件，则AB，ABI(全集)即 (A的对立事件) IA.,【知识拓展】,1几何概型的定义 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的 地取一 点，该区域中每一点被取到的机会 ；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到 上述区域内的某个 这里的区域可以是 、 、 等用这种方法处理随机试验，称为几何概型,区域内随机,均等,非空子集内,长度,面积,体积,2概率计算公式 在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A) . 3求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解 思考：古典概型与几何概型的区别 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个,4互斥事件 (1)不可能同时发生的两个事件称为 事件 (2)如果事件A1，A2，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，An 互斥 (3)设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作 .,彼此,AB,互斥,5互斥事件的概率加法公式 (1)如果事件A，B互斥，那么事件AB发生的概率，等于事件A，B分别发生 的概率的 ，即P(AB)P(A)P(B) (2)如果事件A1，A2，An两两互斥， 则P(A1A2An) ,和,P(A1)P(A2)P(An),(1)两个互斥事件 ，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为 . (2)P(A)P( ) ，P( )1 思考：对立事件一定是互斥事件吗？反之是否成立？ 提示：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件并不一定是对立事件,必有一个发生,1,P(A),6对立事件,1(2010栟茶中学学情分析)从集合(x，y)|x2y24，xR，yR内任选一个 元素(x，y)，则x，y满足xy2的概率为_ 答案：,2(2009苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查) 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000颗黄豆， 数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约 为 . 解析：设所求的面积为S，由题意得： = ，S=36. 答案：36,3某人随机地在如右图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边 界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为_ 解析：设正三角形边长为a，则外接圆半径r a . 概率P . 答案：,4(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知函数f(x)x22x3(5x5)，则 任取x，使得f(x)0的概率为_ 解析：由x22x30，得1x3.又因为5x5，所以由几何概型 的概率，得P .所以f(x)0的概率为 . 答案：,5根据多年气象统计，某地6月1日下雨的概率是0.45，阴天的概率为0.20，则 该日睛天的概率是_ 解析：所求概率P10.450.200.35. 答案：0.35,1如果试验的结果构成的几何区域D的测度可用长度表示，则其概率的计算公 式为P(A) . 2将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每 一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解,【例1】 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？ 思路点拨：从每一个位置剪断都是一个基本事件，基本事件有无限多个但 在每一处截断的可能性相等，故是几何概型 解：记“截得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这 样中间就有10334(米)在中间的4米长的木棍处截都能满足条件，所 以P(A) 0.4.,变式1：将本例中该木棍截成四段，且每段不少于2.5米的概率有多大？ 解：将长为10米的木棍四等分，记等分点依次为B、C、D，BC、CD的 中点分别为E、F，只要在BE段和FD段剪就满足条件P 0.25.,1如果试验的结果构成的几何区域D的测度可用面积表示，则其概率的计算公 式为： P(A) 2“面积比”是求几何概型的一种重要类型，也是在高考中常考的题型,【例2】 甲、乙、丙三人做游戏，游戏规则如下：在不远处有一小方块，要将一枚铜板扔到这张方块上，已知铜板的直径是方块边长的 ，谁能将铜板整个扔到这张方块上就可以进行下一轮游戏，甲一扔，铜板落到小方块上，且没有掉下来，问他能进入下一轮游戏的概率有多大？ 思路点拨：这是一道几何概型问题在几何概型中，样本空间是问题所涉及的整个几何图形在本题中，样本空间是小方块的上表面面积一个事件就是整个几何图形的一部分，这个事件发生的概率就是这两部分的面积比,解：不妨设小方块的边长为1，铜板落到小方块上，也就是铜板的中心落到方块上，而要求整个铜板落到小方块上，也就是铜板中心落到方块上表面内的 的小正方形内整个方块的面积为111，而中央小正方形的面积为 .所以甲进入下一轮游戏的概率为P .,变式2：(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，y)当x，yR时，点P满足(x2)2(y2)24的概率为_ 解析：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足(x2)2(y2)24的点的区域为以(2,2)为圆心， 2为半径的圆的内部(含边界) 所求的概率P1 . 答案：,如果试验的结果所构成的几何区域D的测度可用体积表示，则其概率的计算公式 为P(A) .,【例3】在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 思路点拨：由于带麦锈病的种子所在位置是随机的，所以取这粒种子的概率只与所取的种子的体积有关，这符合几何概型条件,解：1升1 000毫升，记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子” 则P(A) 0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子” 则P(B) 0.03，即取出30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为 0.03.,变式3：已知半径为 的球内有一内接正方体若在球内任取一点，则这一点在正方体内的概率是多少？ 解：球的直径就是正方体的体对角线长，为 ，设正方体的棱长为x，则3x2(4 )2，x4. 正方体的体积V14364，球的体积为V R3 (2 )332 . 记事件A：“这一点在正方体内”，利用几何概型求概率P(A) . 即在球内任取一点在正方体内的概率为 .,求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P( )， 即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便,【例4】 国家射击队的队员为在2009年世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中710环的概率如下表所示： 求该射击队员射击一次： (1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率,思路点拨：该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率 解：设事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥 (1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件 A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.320.280.60.,(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78. (3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P( )1P(B)10.780.22.,变式4：(2010东北师大附中高三测试)某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29.计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率,解：设这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环以及不够8环的事件分别记为A1，A2，A3，A4.A2，A3，A4彼此互斥， P(A2A3A4)P(A2)P(A3)P(A4)0.280.190.290.76. 又A1 ，P(A1)1P(A2A3A4)10.760.24. A1与A2互斥，P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)0.240.280.52. 故这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率为0.52.,1几何概型与古典概型，二者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本 事件数一个是有限的，一个是无限的基本事件可以抽象为点，对于几何概 型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域内的概率与该区域的测度成正比，而与该区域的位置和形状无关，因此我们采用几何的办法求它的概率，因此这种概型叫做几何概型 2求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据的区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件，找出约束条件后，就像线性规划求可行域一样求其测度就不困难了,【规律方法总结 】,3对互斥事件的理解，可以从集合的角度去加以认识 如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集为空集,4要注意互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 5应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互 斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和求复杂事件的概率通常有两种 方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概 率，然后再应用公式求解.,【例5】 (2009福建卷)点A为周长等于3的圆周上的一个定点若在该圆周上随机取一点B，则劣弧 的长度小于1的概率为_ 分析：画出图形，找到随机事件“劣弧的长度 小于1”所对应的圆上的弧长，根据几何概型的概率计算公式进行计算 规范解答：如图所示，可设 1， 1，根据题意只要点B在 优弧 上，劣弧 的长度就小于1，由于点B在圆周上的任意性，故这个概率是优弧 的长度与圆的周长之比，即这个概率是 . 故填 . 答案：,【高考真题 】,本题把直线上的几何概型的计算方法应用于圆上，设计了一道考查考生对几何概型和分类整合思想的掌握程度的试题，试题不落俗套，值得赏析 几何概型适用于有无限多结果而又有某种等可能的试验其中事件A的概率定义为P(A),【命题探究】,【知识链接】,【全解密】,几何概型运用的几个方面：直线上的几何概型的概率表现为线的长度之比；平面上的是区域面积之比；空间中的就是体积之比等解答几何概型试题，要善于根据这些特点寻找基本事件所在的线、面、体，以及随机事件所在的线、面、体，把几何概型转化为相应的长度、面积和体积的比值 本题容易只看到点B在点A的一侧，而将这个概率值求为 ，也有可能把圆的周长是3当成了半径是3而出错,【方法探究】,【误点警示】,1向面积为S的ABC内任投一点P，求PBC的面积小于 的概率 分析：由于是向ABC内任投一点P，故总的基本事件空间对应于点P的个数，可用ABC的面积来度量，然后分析满足条件的事件A即三角形ABC中的点P分布的区域,解：如右图，据题意知，若PBC的面积小于 ，则点P可分布在如图所示的过三角形的高的中点且与底边BC平行的梯形BCFE内，故满足条件的概率 P(A) .,2(1)从含有两件正品a1、a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 (2)在(1)题中，把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率,解：(1)每次取一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)， (a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示 第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品由6个基本事件组成，而 且可以认为这些基本事件的出现是等可能的用A表示“取出的两件中，恰好有 一件次品”这一事件，则A(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)， 事件A由4个基本事件组成因而P(A) .,(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)， (a2，a1)(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)由9个基本事件组成由 于每一件产品被取出的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可 能的用B表示“恰有一件次品”这一事件， 则B(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)事件B由4个基本事件组成，因而 P(B) .,
展开阅读全文