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2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第二章 二次函数与命题一、基础知识1二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2二次函数的性质：当a0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0时，方程有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当=0时，方程有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分别是x|x和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当0时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。当a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a0)，当x0m, n时，f(x)在m, n上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在m, n上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。二、方法与例题1待定系数法。例1 设方程x2-x+1=0的两根是，求满足f()=,f()=,f(1)=1的二次函数f(x).【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a0),则由已知f()=,f()=相减并整理得（-）（+）a+b+1=0，因为方程x2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因为f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=,所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例2 已知f(x)=ax2-c满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以(-1)+f(3)5+4,所以-1f(3)20.3利用二次函数的性质。例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x)=x也无实根。【证明】若a0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的xR,f(x)-x0即f(x)x，从而f(f(x)f(x)。所以f(f(x)x，所以方程f(f(x)=x无实根。注：请读者思考例3的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0x1x2,（）当x(0, x1)时，求证：xf(x)x1；（）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）当x(0, x1)时，x-x10, x-x20，所以f(x)x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以f(x)x1.综上，xf(x)1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，负根比-1大。6定义在区间上的二次函数的最值。例6 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1-,令u,则0u1。y=5u2-u+1=5,且当即x=3时，ymin=.例7 设变量x满足x2+bx-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。【解】 由x2+bx-x(b-(b+1)，即b-2时，x2+bx在0，-(b+1)上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.综上，b=-.7.一元二次不等式问题的解法。例8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0，则x1x2.的解集为ax1-2a.因为1-2a1-a，所以a0,所以不等式组无解。若a0，）当0a时，x1x2,的解集为ax1-a.因为0ax1-a时，a1-a，由得x1-2a，所以不等式组的解集为1-ax1且a-(1-a)3，所以1a2，并且当1a2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，则由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。9常用结论。定理1 若a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若m0，则-mxm等价于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理1得证。定理2 若a,bR, 则a2+b22ab；若x,yR+,则x+y(证略)注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题1下列四个命题中属于真命题的是_，“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；“两个全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。2由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_.p；3是偶数，q：4是奇数；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b; p: QR, q: N=Z.3. 当|x-2|a时，不等式|x2-4|0的解是1x2，则a, b的值是_.5. x1且x2是x-1的_条件，而-2m0且0n1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的_条件.6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2个，则m的取值范围是_.8. R为全集，A=x|3-x4, B=, 则(CRA)B=_.9. 设a, b是整数，集合A=(x,y)|(x-a)2+3b6y，点（2，1）A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b的值是_.10设集合A=x|x|0，则集合x|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。12对任意x0,1,有 成立，求k的取值范围。四、高考水平训练题1若不等式|x-a|0当|a|1时恒成立的x的取值范围是_.3若不等式-x2+kx-410, B=x|x-5|0和a2x2+b2x+c20解集分别为M和N，那么“”是“M=N”的_条件。6若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_.7已知p, q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_条件。8已知p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_.9已知a0，f(x)=ax2+bx+c，对任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)0且|x|1时，g(x)最大值为2，求f(x).11.设实数a,b,c,m满足条件：=0，且a0,m0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0满足0x01.五、联赛一试水平训练题1不等式|x|3-2x2-4|x|+30，当函数的最小值取最大值时，a+b2+c3=_.4. 已知f(x)=|1-2x|, x0,1，方程f(f(f)(x)=x有_个实根。5若关于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一个实根，则m取值范围是_.6若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切xR都有f(x)x且f(1)=1，则p+q2=_.7. 对一切xR，f(x)=ax2+bx+c(a、=、）9若abc100，试问满足|f(x)|50的整数x最多有几个？2设函数f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在tR，只要x1, m就有f(x+t)x.7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。8设a,b,A,BR+, aA, bB，若n个正数a1, a2,an位于a与A之间，n个正数b1, b2,bn位于b与B之间，求证：9设a,b,c为实数，g(x)=ax2+bx+c, |x|1，求使下列条件同时满足的a, b, c的值：（）=381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364.