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2019-2020年高考数学专题复习导练测 第九章 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系 理 新人教A版一、选择题1直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A,B两点,若|AB|4,则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2 C. D4解析直线4kx4yk0,即yk,即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x24,故x1x2,则弦AB的中点的横坐标是,弦AB的中点到直线x0的距离是.答案C2设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析由于直线与椭圆的两交点A,B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1,F2,故|AF1|BF2|,设直线与x轴交于C点,又直线倾斜角的正切值为,结合图形易得tan ,故|CF1|CF2|F1F2|2c,整理并化简得b2(a2c2)ac,即(1e2)e,解得e.答案C3抛物线y22px与直线2xya0交于A,B两点,其中点A的坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F,则|FA|FB|的值等于()A7 B3 C6 D5解析点A(1,2)在抛物线y22px和直线2xya0上,则p2,a4,F(1,0),则B(4,4),故|FA|FB|7.答案A4设双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2()A12 B42C52 D32解析如图,设|AF1|m,则|BF1|m,|AF2|m2a,|BF2|m2a,|AB|AF2|BF2|m2am2am,得m2a,又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2,可得m2(m2a)24c2,即得(208)a24c2,e252,故应选C.答案C5已知直线l:yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|2|BF|,则k的值是()A. B. C2 D.解析法一据题意画图,作AA1l,BB1l,BDAA1.设直线l的倾斜角为,|AF|2|BF|2r,则|AA1|2|BB1|2|AD|2r,所以有|AB|3r,|AD|r,则|BD|2r,ktan tanBAD2.法二直线yk(x2)恰好经过抛物线y28x的焦点F(2,0),由可得ky28y16k0,因为|FA|2|FB|,所以yA2yB.则yAyB2yByB,所以yB,yAyB16,所以2y16,即yB2.又k0,故k2.答案C6过双曲线1(a0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是()A(,5) B(,) C(1,) D(5,5)解析令b,c,则双曲线的离心率为e,双曲线的渐近线的斜率为.据题意,23,如图所示,23,5e210,eb0),F(,0)为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为_解析由题意,得解得椭圆C的方程为1.答案19过椭圆1(ab0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B,若|AM|MB|,则该椭圆的离心率为_解析由题意知A点的坐标为(a,0),l的方程为yxa,B点的坐标为(0,a),故M点的坐标为,代入椭圆方程得a23b2,c22b2,e.答案10已知曲线1(ab0,且ab)与直线xy10相交于P,Q两点,且0(O为原点),则的值为_解析将y1x代入1,得(ba)x22ax(aab)0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2,x1x2.x1x2y1y2x1x2(1x1)(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以10,即2a2ab2aab0,即ba2ab,所以2.答案2三、解答题11在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y24x相交于不同的A,B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;(2)如果4,证明:直线l必过一定点,并求出该定点(1)解由题意:抛物线焦点为(1,0),设l:xty1,代入抛物线y24x,消去x得y24ty40,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24t,y1y24,x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明设l:xtyb,代入抛物线y24x,消去x得y24ty4b0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24t,y1y24b,x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4,b24b40,b2,直线l过定点(2,0)若4,则直线l必过一定点12给出双曲线x21.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程;(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1,P2两点,求线段P1P2的中点P的轨迹方程;(3)过点B(1,1)能否作直线m,使得m与双曲线交于两点Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点?这样的直线m若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由解(1)设弦的两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2),又x1x24,y1y22,所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),按照(1)的解法可得,由于P1,P2,P,A四点共线,得,由可得,整理得2x2y24xy0,检验当x1x2时,x2,y0也满足方程,故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2y24xy0.(3)假设满足题设条件的直线m存在,按照(1)的解法可得直线m的方程为y2x1.考虑到方程组无解,因此满足题设条件的直线m是不存在的13在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点若l与圆x2y21相切,求证:OPOQ.(3)设椭圆C2:4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点,且OMON,求证:O到直线MN的距离是定值(1)解双曲线C1:y21,左顶点A,渐近线方程:yx.不妨取过点A与渐近线yx平行的直线方程为y,即yx1.解方程组得所以所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)证明设直线PQ的方程是yxb.因为直线PQ与已知圆相切,故1,即b22.由得x22bxb210.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则又y1y2(x1b)(x2b),所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)证明当直线ON垂直于x轴时,|ON|1,|OM|,则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为ykx,则直线OM的方程为yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d,因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2,所以3,即d.综上,O到直线MN的距离是定值14在圆x2y24上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足,点M在线段PD上,且|DP|DM|,点P在圆上运动(1)求点M的轨迹方程;(2)过定点C(1,0)的直线与点M的轨迹交于A,B两点,在x轴上是否存在点N,使为常数,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由解(1)设P(x0,y0),M(x,y),则x0x,y0y.P(x0,y0)在x2y24上,xy4.x22y24,即1.点M的轨迹方程为1(x2)(2)假设存在当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),N(n,0),联立方程组整理得(12k2)x24k2x2k240,x1x2,x1x2.(x1n,y1)(x2n,y2)(1k2)x1x2(x1x2)(k2n)n2k2(1k2)(k2n)k2n2n2n2(2n24n1).是与k无关的常数,2n0.n,即N,此时.当直线AB与x轴垂直时,若n,则.综上所述,在x轴上存在定点N,使为常数
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