2019-2020年高三数学上学期第二次月考试卷 理（含解析）.doc

2019-2020年高三数学上学期第二次月考试卷 理（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x20，B=x|xa，若AB=A，则实数a的取值范围是( )A（，2B2，+）C（，2D2，+）考点：交集及其运算专题：集合分析：化简A，再根据AB=A，求得实数a的取值范围解答：解：集合A=x|x20=x|x2，B=x|xa，AB=A，a2，故选：D点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，得到复数z对应点的坐标，则答案可求解答：解：z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=3+4i，复数z=（1+2i）2对应的点的坐标为（3，4），位于第二象限故选：B点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3设平面向量，均为非零向量，则“（）=0”是“=”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据向量的数量积关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答：解：若=，则（）=0成立，必要性成立，若（）=0得=，则=不一定成立，充分性不成立故“（）=0”是“=”的必要而不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量的数量积是解决本题的关键，比较基础4如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( )A8B9C10D11考点：循环结构专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件，跳出循环，计算输出s的值解答：解：由程序框图知：第一次循环n=1，s=1+1=0，；第二次循环n=2，s=0+1+2=3；第三次循环n=3，s=31+3=5；第四次循环n=4，s=5+1+4=10满足条件s9，跳出循环，输出s=10故选：C点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A2B1CD考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，棱长为1，底面是对角线长为2的正方形，把数据代入体积公式计算解答：解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，棱长为1，底面是对角线长为2的正方形，其边长为，四棱锥的体积V=1=故选C点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量6将函数的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )ABCD考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），图象向左平移m（m0）个单位长度得到y=2sin（x+m）+=2sin（x+m+），所得的图象关于y轴对称，m+=k+（kZ），则m的最小值为故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（x+）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键7设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交于C于A，B两点，则|AB|=( )AB6C12D7考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|解答：解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30的直线方程为y=tan30（x）=（x）代入抛物线方程，消去y，得16x2168x+9=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+=+=12故答案为：12点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键8在圆的一条直径上，任取一点作与直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )ABCD考点：几何概型专题：计算题；概率与统计分析：由题意可得：要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，即可得出结论、解答：解：如图所示，BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时就是BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长，由几何概型概率公式得P（A）=，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是故选：C点评：本题主要考查几何概型概率的计算，是简单题，确定得到各自的几何度量是解决问题的关键9设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x0，1时，f（x）=x3，则方程f（x）=lg|x|根的个数为( )A12B16C18D20考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：由函数f（x）的周期性、奇偶性及函数在x0，1时的解析式可知其大致图象，结合函数y=lg|x|也为偶函数可得方程f（x）=lg|x|根的个数解答：解：当x0，1时，f（x）=x3，函数是偶函数，当x1，0时f（x）=x3，函数f（x）的周期为2，又函数y=lgx当x=10时函数值为1，函数y=lgx与y=f（x）在0，10内有9个交点，而函数y=lg|x|也为偶函数，由对称性可知，方程f（x）=lg|x|根的个数为18故选：C点评：本题考查了函数的性质，考查了方程根的个数与函数零点间的关系，是中档题10如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是( )ABCD考点：函数的图象专题：综合题；函数的性质及应用分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tanBGM=，即BGM=，所以tanBGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法二、选做题：请在下列两题中选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分.【不等式选做题】11已知函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（，31，+）考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：题目中条件：“f（x）的定义域为R”转化为|x+2|+|xm|10在R上恒成立，下面只要求出函数|x+2|+|xm|的最小值，使最小值大于等于2，解之即可解答：解：解：f（x）的定义域为R，|x+2|+|xm|10在R上恒成立而|x+2|+|xm|m+2|m+2|1，解得：m3或m1故答案为：（，31，+）点评：本题考查函数的定义域及其求法，不等式的恒成立问题，属于中档题，求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是xx高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇【坐标系与参数方程选做题】12在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的参数方程为为参数），圆C的极坐标方程为（）若圆C关于直线l对称，求a的值；（）若圆C与直线l相切，求a的值考点：参数方程化成普通方程专题：坐标系和参数方程分析：（I）把直线l的参数方程和圆C的极坐标方程分别化为直角坐标方程，再利用圆C关于直线l对称可得直线l过圆心，即可得出（II）利用圆C与直线l相切点C到直线l的距离d=r，即可得出解答：解：（）由直线l的参数方程为为参数）消去参数t可得：直线l：x+ay+a5=0； 由圆C的极坐标方程为，化为2=2cos+2sin，x2+y22x2y=0，即（x1）2+（y1）2=2圆心为C（1，1），半径圆C关于直线l对称，直线l过圆心，1+a1+a5=0，解得a=2； （）点C到直线l的距离d=，圆C与直线l相切，d=r，整理得a28a+7=0，解得a=1或a=7点评：本题考查了把直线l的参数方程和圆C的极坐标方程分别化为直角坐标方程、圆的对称性质、圆C与直线l相切点C到直线l的距离d=r等基础知识与基本技能方法，属于基础题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+）考点：对数函数的值域与最值专题：计算题分析：先根据指数函数的性质求出真数3x+1的范围，然后根据对数函数的单调性求出函数的值域即可解答：解：3x+11log2（3x+1）0f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+）故答案为：（0，+）点评：本题主要考查了对数函数的值域，同时考查了指数函数的值域，属于基础题14曲线y=x2+1与直线x=0，x=1及x轴所围成的图形的面积是考点：定积分在求面积中的应用专题：计算题；导数的概念及应用分析：确定积分公式中x的取值范围，根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可解答：解：由题意，S=（x2+1）dx=（）=，故答案为：点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题15已知数列a1，a2，a8，满足a1=xx，a8=xx，且an+1an1，1（其中n=1，2，7），则这样的数列an共有252个考点：数列的函数特性专题：创新题型；排列组合分析：运用数列相邻两项差的值，可能够取值的情况分类讨论，转化为排列组合问题求解解答：解：数列a1，a2，a8，满足a1=xx，a8=xx，a8a1=a8a7+a7a6+a6a5+a5a4+a4a3+a3a2+a2a1=1，an+1an1，1（其中n=1，2，7），共有7对差，可能an+1an=1，或an+1an=，或an+1an=1设1有x个，有y个，1有7xy个，则想x（1）+1（7xy）=1，即6x+2y=18，x，y0，7的整数，可判断；x=1，y=6；x=2，y=3；x=3，y=0，三组符合所以共有数列C+CCC+=7+210+35=252故答案为：252点评：本题考查了方程的解转化为组合问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，转化能力16已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x，且x0，则a的取值范围是a2考点：函数的零点专题：计算题；导数的综合应用分析：由题意判断出a0，再由题意可知f（）0，从而求出a解答：解：函数f（x）=ax33x2+1，f（0）=1，且f（x）存在唯一的零点x，且x0，a0，f（x）=3ax26x=3x（ax2）=0时的解为x=0，x=；f（）=a（）33（）2+1=0，则a2故答案为：a2点评：本题考查了函数的零点的判断，属于基础题四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响已知至少有1人面试合格概率为（1）求P （2）求签约人数的分布列和数学期望值考点：离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（1）由至少有1人面试合格概率，利用对立事件的概率求出3人均不合格的概率，再由相互独立事件同时发生的概率列式求解；（2）由题意可知签约人数的取值分别是0，1，2，3，求出每种情况的概率，直接利用期望公式求期望解答：解：（1）至少1人面试合格概率为（包括1人合格 2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为1=所以（1P）3=，即P=（2）签约人数取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：都不合格（1）3=，甲不合格，乙丙至少一人不合格（1）（1）3=，签约人数为0的概率：+=；签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：（1）=；签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：（1）=；签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：（）3=分布表：签约人数0123概率数学期望：E=1点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了离散型随机变量的分布列与期望，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，是中档题18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1AB，AB平面OA1C，进而可得ABA1C；（）易证OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立坐标系，可得，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，1），可求cos，即为所求正弦值解答：解：（）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OCAB，由于AB=AA1，BAA1=60，所以AA1B为等边三角形，所以OA1AB，又因为OCOA1=O，所以AB平面OA1C，又A1C平面OA1C，故ABA1C；（）由（）知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，|为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），则=（1，0，），=（1，0），=（0，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，1），故cos，=，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：点评：本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题19已知数列an的前n项和Sn=an+n21，数列bn满足3nbn+1=（n+1）an+1nan，且b1=3（）求an，bn；（）设Tn为数列bn的前n项和，求Tn，并求满足Tn7时n的最大值考点：数列与不等式的综合专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）在已知数列递推式中取n=n1得另一递推式，两式作差后整理得到an1=2n1，则数列an的通项公式可求，把an代入3nbn+1=（n+1）an+1nan，整理后求得数列bn的通项公式；（）由错位相减法求得数列bn的前n项和Tn，然后利用作差法说明Tn为递增数列，通过求解T3，T4的值得答案解答：解：（）由，得 （n2），两式相减得，an=anan1+2n1，an1=2n1，则an=2n+1由3nbn+1=（n+1）an+1nan，3nbn+1=（n+1）（2n+3）n（2n+1）=4n+3当n2时，由b1=3适合上式，；（）由（）知， 得，=TnTn+1，即Tn为递增数列又，Tn7时，n的最大值3点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了错位相减法求数列的和，求解（）的关键是说明数列Tn为递增数列，是中高档题20如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=90，OP=2，点M在线段PQ上（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且MON=30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值考点：三角形中的几何计算；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：（1）在OPQ中，由余弦定理得，OM2=OP2+MP22OPMPcos45，解得MP即可（2）POM=，060，在OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过的范围求出面积的最大值解答：解：（1）在OPQ中，OPQ=45，OM=，OP=2，由余弦定理得，OM2=OP2+MP22OPMPcos45，得MP24MP+3=0，解得MP=1或MP=36（2）设POM=，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以，同理 8SOMN= 10= 14因为060，302+30150，所以当=30时，sin（2+30）的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM=30时，OMN的面积的最小值为8416点评：本题考查正弦定理以及余弦定理两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力21如图，O为坐标原点，双曲线C1：=1（a10，b10）和椭圆C2：+=1（a2b20）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形（）求C1、C2的方程；（）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=|？证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程再由椭圆的定义求得a2=，可得=的值，从而求得椭圆C2的方程（）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得y1y2=由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式=0，求得2k2=m23，可得0，可得|+|综合（1）、（2）可得结论解答：解：（）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，a1=1，c2=1由于点P（，1）在上，=1，=3，双曲线C1的方程为：x2=1再由椭圆的定义可得 2a2=+=2，a2=，=2，椭圆C2的方程为：+=1（）不存在满足条件的直线l（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=当x=时，可得 A（，）、B（，），求得|=2，|=2，显然，|+|同理，当x=时，也有|+|（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由 可得（3k2）x22mkxm23=0，x1+x2=，x1x2=于是，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，根据直线l和C1仅有一个交点，判别式=16k2m28（2k2+3）（m23）=0，2k2=m23=x1x2+y1y2=0，|+|综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l点评：本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题22已知函数f（x）=，其中a，bR，e为自然对数的底数（1）当a=b=3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x6时，若函数h（x）=f（x）ex（x3+b1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+）单调递增，试证明：f（nm）考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（1）当a=b=3时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性； （2）先求出当x6时h（x）的解析式，求出h（x），由h（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；（3）写出g（x）的表达式，则x=2，x=n，x=m分别是g（x）=0的三个根，得出m，n，a的关系，从而证明不等式成立解答：（1）解：当x6时，则，即f（x）在（6，+）单调递减；当x6时，由已知，有f（x）=（x3+3x23x3）ex，f（x）=x（x3）（x+3）ex，知f（x）在（，3），（0，3）上单调递增，在（3，0），（3，6）上单调递减综上，f（x）的单调递增区间为（，3）和（0，3）（2）解：当x6时，h（x）=ex（3x2+ax+1），h（x）=ex3x2（a6）x+a1，令（x）=3x2+（a6）x+1a，设其零点分别为x1，x2由解得（3）证明：当x6时，g（x）=exx3+（6a）x+（ba），由g（2）=0，得b=3a4，从而g（x）=exx3+（a6）x+（42a），因为g（m）=g（n）=0，所以x3+（a6）x+（42a）=（x2）（xm）（xn），将右边展开，与左边比较系数得m+n=2，mn=a2，因为n2，所以m4，nm6，又f（x）在6，+）单调递减，则，因为ln62，所以6ln612，（6ln6）2144150=，即有，从而点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题有一定的难度解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化