2019-2020年高三数学一轮总复习 专题十二 圆锥曲线与方程（含解析）.doc

2019-2020年高三数学一轮总复习 专题十二 圆锥曲线与方程（含解析）抓住3个高考重点重点1 椭圆及其性质1椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点都有椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点都有2求椭圆的标准方程的方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是在轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程3求椭圆的标准方程需要注意以下几点？（1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为或（2）与椭圆共焦点的椭圆方程可设为（3）与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）4椭圆的几何性质的应用策略（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了（2）椭圆的离心率是刻画椭圆性质的不变量，当越接近于1时，椭圆越扁，当越接近于时，椭圆越接近于圆，求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于的齐次方程，再结合即可求出椭圆的离心率高考常考角度角度1若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .解析:方法一：设过点的直线方程为：当斜率存在时，即由题意，由，切点为，又当斜率不存在时，直线方程为，切点为，故直线,则与轴的交点即为上顶点坐标，与轴的交点即为焦点，即椭圆方程为 （说明：如果设切点，则过切点的切线方程为，与比较，也可求出切点）方法二：（数形结合）设点，则有直线，作图分析可得，又切点故直线，即，则与轴的交点即为上顶点坐标，与轴的交点即为右焦点，故 椭圆方程为 角度2在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交C于两点，且的周长为，那么的方程为 .解析：可设椭圆方程为,的周长为, 故椭圆的方程为角度3 已知椭圆,直线为圆的一条切线，记椭圆E的离心率为若直线的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则的大小为_.解析：本题考查直线与圆的位置关系，椭圆的离心率等知识如图所示，设直线与圆相切于C点，椭圆的右顶点为D，则由题意，知OCD为直角三角形，且重点2 双曲线及其性质1双曲线的定义：双曲线的第一定义：对双曲线上任意一点都有双曲线的第二定义：对双曲线上任意一点都有2求双曲线的标准方程的方法（1）定义法（2）待定系数法3求双曲线方程需要注意以下几点：（1）双曲线与椭圆的标准方程均可记为，其中，且，且时表示椭圆；时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论（2）常见双曲线设法：已知的双曲线设为；已知过两点的双曲线可设为；已知渐近线的双曲线方程可设为4.双曲线的几何性质的应用策略（1）关于双曲缉的渐近线 求法：求双曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线方程两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于轴、轴对称.与共渐近线的双曲线方程可设为.（2）求双曲线的离心率双曲线的离心率，求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于的齐次方程，再结合即可求出.高考常考角度角度1已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 解析：由已知得，圆，双曲线的渐近线为，由已知得，则，故选A.角度2 已知双曲线的左、右焦点分别是、，为右支上一动点，点，则的最小值为_.解析：由双曲线的定义得，又，当且仅当共线时取等号，故的最小值为角度3设、分别为双曲线的左、右焦点.若双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 解析：如图，过作于，由题意知则而 则 双曲线的渐近线方程为，即，故选C重点3 抛物线及其性质1求抛物线的标准方程的方法（1）定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程（2）待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式从简单化角度出发，焦点在轴上的，设为，焦点在轴上的，设为2抛物线定义的应用策略抛物线是到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹，利用该定义，可有效地实现抛物线上的点到焦点和到准线的距离的转化，将有利于问题的解决3抛物线几何性质的应用策略（1）焦半径：抛物线一点到焦点的距离.（2）通径：过焦点且与轴垂直的弦叫做通径，且（3）设过抛物线的焦点的弦为，则有弦长：为弦的倾斜角）以弦为直径的圆与抛物线的准线相切.直线的方程为（不存在时弦为通径）高考常考角度角度1已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到y轴的距离为（ ）A B1 C D解析：设，由抛物线定义，得，故线段AB的中点到y轴的距离为.故选C角度2设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（ ）A. B. C. D. 点评：由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键解析：由题意可知，抛物线的方程为，由准线方程得,所以故选B 角度3设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足如果直线的斜率为，那么（ B ）A. B. 8 C. D. 16解析：方法一：抛物线的焦点，直线AF的方程为，所以得点、，从而，故选B方法二： 如图，轴，又， 又由抛物线定义得为等边三角形，令与轴的交点为，则在中，故选B突破10个高考难点难点1 直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系 2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式典例 如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为上一点，且（）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度点评：（）动点通过点与已知圆相联系，所以把点的坐标用点的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算解析：（）设点的坐标是，的坐标是，因为点是在轴上投影，为上一点，且，所以，且，在圆上，整理得，即的方程是（）过点且斜率为的直线方程是，设此直线与的交点为，由得 ，则，直线被所截线段的长度为点评：如果直接解方程，形式复杂，增加运算难度所以线段AB的长度是 ）难点2 中点弦问题的处理1. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种：（1）通过方程组转化为一元一次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解；（2）点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解；（3）中点转移法，先得出一个端点的坐标，再借助于中点坐标公式得出另一个端点的坐标，而后消二次项2对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，其解题步骤为： （1）设点：设出弦的两端点坐标； （2）代入：代入圆锥曲线方程； （3）作差：两式相减，再用平方差公式把式子展开；（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，最后求解.典例已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。（）求椭圆的方程；（）求的面积。解析：（）由已知得 解得 又所以椭圆G的方程为（）设直线l的方程为由 得 设、的坐标分别为中点为，则 因为是等腰的底边，所以. 所以的斜率解得，此时方程为 解得 所以 所以.此时，点到直线的距离所以难点3 圆锥曲线中的分点弦典例 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（ ）A. 1 B. C. D. 2解析：设为椭圆的右准线，为离心率，过分别作垂直于，为垂足，过作于，由椭圆的第二定义得，由，令，则， 即，故选B.难点4 圆锥曲线上点的对称问题典例1 已知椭圆：在椭圆上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.解析：方法一：(方程组法) 设椭圆上存在两点关于直线对称，由题意，设由，设，的中点为，则 ， ，又点在直线上，代入解得 ，为所求方法二：(点差法) 设椭圆上存在两点关于直线对称，的中点为，则 又 又点在直线上， 解得在椭圆内，为所求难点5 求轨迹（曲线）方程典例 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程.解析：由条件知，设，方法一：设，则，由得 即，于是的中点坐标为 当不与轴垂直时，即，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得（点差法），即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是方法二：同解法一，有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 从而 相除得，将其代入得整理得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是难点6 圆锥曲线中的定点问题典例 已知椭圆若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解析：设，由 得 ， （1） 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，, 即 ，即，解得，且满足.当时，有，直线过定点与已知矛盾；当时，有，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为难点7 圆锥曲线中的定值问题典例 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线.（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解析：（）设椭圆方程为则右焦点为，直线的方程为，由 整理得 ，设，则 由共线，得 （）由（）可知，故椭圆可化为，设 由 在椭圆上， 即 由（）知，又，代入得 难点8 圆锥曲线中的最值问题和范围问题典例 设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解析：（）方法一：由已知得，所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值方法二：由已知得，所以，设，则（以下同方法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，由，消去，整理得，由 得 或 又，又，即 综合 、得或故直线的斜率的取值范围为难点9 圆锥曲线中的探索问题典例 已知直线与双曲线的右支交于不同的两点（）求实数的取值范围（）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（）由 得 依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点，故 解得 （）设则由可得 ， 假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 将及代入，得 解得 或（舍去）因此存在，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点.规避5个易失分点易失分点1 焦点位置考虑不全典例 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则该椭圆的方程为_.易失分提示：焦点没有确定，所以有两种情况。解析： ，由椭圆的定义得，又当焦点在轴上时，椭圆的方程为，当焦点在轴上时，椭圆的方程为易失分点2 忽视圆锥曲线定义的条件典例1 动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（ D ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 易失分提示：容易忽视点F在直线上，而误选C解析：点在直线，所以到点和直线的距离相等的点一定在过点，且与直线垂直的直线上故选D典例2 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A B C D易失分提示：容易因错误运用双曲线定义而出错，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支如果不注意，就会出现错误的结果，即点的轨迹方程为 解析：如图所示，设动圆半径为动圆同时与圆及圆分别外切于A和B 根据两圆外切的条件，得,所以动点M的轨迹为双曲线的左支, 其中故点M的轨迹方程为, 故选 D易失分点3 离心率范围求解错误典例 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是_.易失分提示: 求离心率的范围关键是构建关于（或）的不等式本题容易出现的错误：一是不会利用正弦定理进行边角转化；二是不会利用椭圆的定义或性质建立不等关系，根据题意利用正弦定理，将已知条件转化为关于离心率的不等式，进而求出其取值范围解析：由已知由椭圆的几何性质知，所以，即结合，可解得本题容易出错的地方是忽略“点异于长轴端点”这一隐含条件，导致在建立不等式时误带等号而出错在平时的训练中应该加强对解题过程的监控，多注意所要解决问题的特殊情况，仔细阅读，深入挖掘隐含条件，形成全面思考，周密解答的良好习惯，这对考生来说是非常重要的易失分点4 弦长公式使用不合理典例 已知椭圆设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值易失分提示：本题的实质就是求直线被椭圆所截得的弦长的最大值，易错之处在于对弦长公式的使用不合理，致使运算繁杂，导致最后结果错误或是解题半途而废解析：设 （1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知由，整理得当时，上式当且仅当，即时等号成立当时，综上所述，此时，易失分点5 焦点三角形问题忽视细节典例 已知双曲线的左、右焦点分别为若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是_易失分提示:本题容易出现的一个致命的错误就是忽视了隐含条件“,都不能等于，这样会导致在最后的答案中含有离心率等于解答数学题要注意对隐含条件的挖掘，确保答案准确无误.解析：由已知点不会是双曲线的顶点，否则无意义.因为在中，由正弦定理，得则由已知得，且知点在双曲线的右支上，由双曲钱的定义知则由双曲线的几何性质，知，则，又，所以离心率的取值范围是