2019-2020年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练六应用题.doc

2019-2020年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练六应用题1某辆汽车以x千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶(高速公路行车安全要求为60x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为升，其中k为常数，且60k100.(1)若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值解：(1)由题意可得当x120时，11.5，解得k100，由9，即x2145x4 5000，解得45x100，又60x120，可得60x100，所以当每小时的油耗不超过9升时，x的取值范围为60,100(2)设该汽车行驶100千米油耗为y升，则y20(60x120)，令t，则t，即有y90 000t220kt2090 000220，对称轴为t.由60k100，可得.若，即75k100，则当t，即x时，ymin20；若，即60k75，则当t，即x120时，ymin.答：当75k100时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20升；当60k75时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升2.如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC200 m，斜边AB400 m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；(2)设CEF，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且DEF，请将甲、乙之间的距离y表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离解：(1)依题意得BD300，BE100，在ABC中，cos B，B， 在BDE中，由余弦定理得：DE2BD2BE22BDBEcos B30021002230010070 000，DE100. 答：此时甲、乙两人之间的距离为100 m. (2)由题意，得EF2DE2y，BDECEF，在RtCEF中，CEEFcosCEF2ycos ， 在BDE中，由正弦定理得，即，y，0， 所以当时，y有最小值50. 答：甲、乙之间的最小距离为50 m.3.现需要设计一个仓库，它的上部是底面圆半径为5米的圆锥，下部是底面圆半径为5米的圆柱，且该仓库的总高度为5米经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/米2、1百元/米2.(1)记仓库的侧面总造价为y百元，设圆柱的高为x米，试将y表示为关于x的函数yf(x)；设圆锥母线与其轴所在直线所成角为，试将y表示为关于的函数yg()；(2)问当圆柱的高度为多少米时，该仓库的侧面总造价(单位：百元)最少？解：(1)由题可知，圆柱的高为x米，且x(0,5)，则该仓库的侧面总造价y(25x)1410x20，x(0,5)由题可知，圆锥母线与轴所在直线所成角为，且， 则该仓库的侧面总造价y2551450，.(2)由，令h()，则h().令h()0，得cos ，所以.则h()，h()随的变化情况如表所示：h()0h()极小值当时，h()取得最小值，侧面总造价y最小，此时圆柱的高度为55米. 答：当圆柱的高度为5米时，该仓库的侧面总造价最少. 4.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE30米活动中心东西走向，与居民楼平行从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足tan .(1)若设计AB18米，AD6米，问能否保证上述采光要求？(2)在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中取3)解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(1)因为AB18，AD6，所以半圆的圆心为H(9,6)，半径r9.设太阳光线所在直线方程为yxb，即3x4y4b0，则由9，解得b24或b(舍去)故太阳光线所在直线方程为yx24, 令x30，得EG1.5米2.5米所以此时能保证上述采光要求. (2)设ADh米，AB2r米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.法一：设太阳光线所在直线方程为yxb，即3x4y4b0，由r，解得bh2r或bh(舍去). 故太阳光线所在直线方程为yxh2r，令x30，得EG2rh，由EG，得h252r.所以S2rhr22rhr22r(252r)r2r250r(r10)2250250.当且仅当r10时取等号所以当AB20米且AD5米时，可使得活动中心的截面面积最大法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y(x30)，即3x4y1000. 由直线l1与半圆H相切，得r.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r4h1000，即r，从而h252r. 又S2rhr22r(252r)r2r250r(r10)2250250.当且仅当r10时取等号所以当AB20米且AD5米时，可使得活动中心的截面面积最大5.某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为1 m，且.设EOF，透光区域的面积为S.(1)求S关于的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边AB的长度解：(1)过点O作OHFG于点H，则OFHEOF，所以OHOFsin sin ，FHOFcos cos .所以S4SOFH4S扇形OEF2sin cos 4sin 22，因为，所以sin ，所以定义域为.答：S关于的函数关系式为Ssin 22，定义域为.(2)矩形窗面的面积为S矩形ADAB22sin 4sin .则透光区域与矩形窗面的面积比值为.设f()，.则f()sin .因为，所以0sin 2，所以sin 20，故f()0，所以函数f()在上单调递减所以当时，f()有最大值，此时AB2sin 1(m). 答：透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB的长度为1 m.6.一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin 17，5.744 6)(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由解：(1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图1)，依题意，AC3BC. 在ABC中，由正弦定理得，sinBACsinABC.因为sin 17，所以BAC17.从而缉私艇应向北偏东47方向追击. 在ABC中，由余弦定理得，cos 120，解得BC1.686 15.又B到边界线l的距离为3.84sin 301.8.因为1.686 151.8，所以能在领海上成功拦截走私船答：缉私艇应向北偏东47方向追击(2)法一：如图2，设走私船沿BC方向逃跑，ABC，缉私艇在C截获走私船，并设BCa，则AC3a.由余弦定理得(3a)2a2168acos .即cos ，所以sin ，1a2.所以BCcos(120)a(2a2)(a22).令ta2，t，再令tcos ，0180.则BCcos(120)tcos sin sin(30)1.751.8，所以无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截法二：如图3，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.则B(2,2)，设缉私艇在P(x，y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇，则3，即3.整理得，22， 所以点P(x，y)的轨迹是以点为圆心，为半径的圆. 因为圆心到领海边界线l：x3.8的距离为1.55，大于圆的半径，所以缉私艇能在领海内截住走私船. 答：缉私艇总能在领海内成功拦截走私船