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2019-2020年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十一)理 新人教A版一、选择题1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为()A. B.C.或 D不能确定答案C解析cosm,n,m,n.两平面所成二面角的大小为或.2(xx广东)已知向量a(1,0,1),则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1,1,0)C(0,1,1) D(1,0,1)答案B解析各选项给出的向量的模都是,|a|.对于选项A,设b(1,1,0),则cosa,b.因为0a,b180,所以a,b120.对于选项B,设b(1,1,0),则cosa,b.因为0a,b180,所以a,b60,正确对于选项C,设b(0,1,1),则cosa,b.因为0a,b180,所以a,b120.对于选项D,设b(1,0,1),则cosa,b1.因为0a,b180,所以a,b180.故选B.3如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC1的中点,则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为()A. B.C. D.答案C解析设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,以D为原点,以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,E为BC1的中点,D(0,0,0),E(1,2,1),(1,2,1),设DE与平面BCC1B1所成角的平面角为,平面BCC1B1的法向量n(0,1,0),sin |cos,n|,cos ,tan .4在正三棱柱ABCA1B1C1中,若ABAA14,点D是AA1的中点,则点A1到平面DBC1的距离是()A. B.C. D.答案A解析过点A作AC的垂线为x轴,以AC为y轴,以AA1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,正三棱柱ABCA1B1C1中,若ABAA14,点D是AA1的中点,B(2,2,0),C1(0,4,4),D(0,0,2),A1(0,0,4),(2,2,2),(0,4,2),(0,0,2),设平面BDC1的法向量为n(x,y,z),n0,n0,n(,1,2),点A1到平面DBC1的距离d.故选A.5如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则以下命题中,错误的命题是()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45答案D解析A1BD为正三角形,其重心、外心、中心合一ABAA1AD,H到A1BD各顶点的距离相等,A正确;CD1BA1,CB1DA1,CD1CB1C,BA1DA1A1,平面CB1D1平面A1BD,AH平面CB1D1,B正确;连接AC1,则AC1B1D1,B1D1BD,AC1BD,同理AC1BA1,AC1平面A1BD,A、H、C1三点共线,C正确,故选D.二、填空题6若a、b是直线,、是平面,a,b,向量m在a上,向量n在b上,m(0,3,4),n(3,4,0),则、所成二面角中较小的一个余弦值为_答案解析由题意,m(0,3,4),n(3,4,0),cosm,n,a,b,向量m在a上,向量n在b上,、所成二面角中较小的一个余弦值为.7(xx北京)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_答案解析取B1C1中点E1,连接E1E,D1E1,过P作PHD1E1,连接C1H.EE1平面A1B1C1D1,PHEE1,PH底面A1B1C1D1,P到C1C的距离为C1H.当点P在线段D1E上运动时,最小值为C1到线段D1E1的距离在RtD1C1E1中,边D1E1上的高h.8在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_答案解析如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),(0,1,1),(1,0,)设平面A1ED的法向量为n1(1,y,z),则n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1),cosn1,n2,即所求的锐二面角的余弦值为.三、解答题9在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB60,FC平面ABCD,AEBD,CBCDCF.(1)求证:BD平面AED;(2)求二面角FBDC的余弦值(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB60,所以ADCBCD120.又CBCD,所以CDB30,因此ADB90,即ADBD.又AEBD,且AEADA,AE平面AED,AD平面AED,所以BD平面AED.(2)解由(1)知ADBD,所以ACBC.又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系不妨设CB1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1)因此,(0,1,1)设平面BDF的一个法向量为m(x,y,z),则m0,m0,所以xyz,取z1,则m(,1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,则cosm,所以二面角FBDC的余弦值为.10如图所示,三棱柱ABCA1B1C1中,CC1平面ABC,ABC是边长为2的等边三角形,D为AB边的中点,且CC12AB.(1)求证:AC1平面CDB1;(2)求点B到平面B1CD的距离;(3)求二面角ACDB1的正切值(1)证明连接BC1交B1C于点O,连接DO.则O是BC1的中点,DO是BAC1的中位线,所以DOAC1.因为DO平面CDB1,AC1平面CDB1,所以AC1平面CDB1.(2)解因为CC1平面ABC,所以BB1平面ABC,所以BB1为三棱锥B1CBD的高,所以SBCDBB14.又可求CD,B1D,且易知CD平面ABB1A1,所以CDDB1.故h,即h,解得h.即点B到平面B1CD的距离为.(3)解以,过点D且垂直于平面ABC向上的向量分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系则点D(0,0,0),C(,0,0),B1(0,1,4),所以(,0,0),(0,1,4)设平面CDB1的一个法向量为n1(x,y,z),由得令z1,得n1(0,4,1)又易知平面ACD的一个法向量为n2(0,0,1)设二面角ACDB1的平面角为,观察图形,可得cos .所以sin .故tan 4.即二面角ACDB1的正切值为4.
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