2019-2020年高考数学一轮复习第12章选4系列12.4证明不等式的基本方法学案文.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第12章选4系列12.4证明不等式的基本方法学案文知识梳理1证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2三个正数的算术几何平均不等式(1)定理：如果a，b，cR那么，当且仅当abc时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ，当且仅当a1a2an时，等号成立3柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(iN*)为实数，则2，当且仅当(当ai0时，约定bi0，i1,2，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当，共线时等号成立诊断自测1概念思辨(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”()(2)若1，则x2yxy.()(3)|ab|ab|2a|.()(4)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A45P23T1)不等式：x233x；a2b22(ab1)；2，其中恒成立的是()A B C D答案D解析由得x233x20，所以x233x；对于，因为a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，所以不等式成立；对于，因为当ab0时，20，即1)；|ab|1)，正确ab0时，|ab|a|b|，不正确；因为ab0，与同号，所以2，正确；由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1恒成立，正确，综上正确故选C.(2)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_答案解析由柯西不等式得(manb)2(m2n2)(a2b2)，即m2n25， ，所求最小值为.题型1综合法证明不等式(xx安徽百校模拟)已知a0，b0，函数f(x)|2xa|21的最小值为2.(1)求ab的值；(2)求证：alog33b. (1)当绝对值符号中x的系数相同时，利用绝对值不等式的性质消去x即可；(2)利用ab1转化为(ab)求解解(1)因为f(x)|2xa|2xb|1|2xa(2xb)|1|ab|1，当且仅当(2xa)(2xb)0时，等号成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为ab12，所以ab1.(2)证明：由(1)知，ab1，所以(ab)14529，当且仅当且ab1，即a，b时取等号所以log3log392，所以ablog3123，即alog33b.方法技巧1综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件冲关针对训练(xx浙江金华模拟)已知x，yR.(1)若x，y满足|x3y|，|x2y|，求证：|x|；(2)求证：x416y42x3y8xy3.证明(1)利用绝对值不等式的性质得|x|2(x3y)3(x2y)|2(x3y)|3(x2y)|0，且abbcca1.求证：(1)abc；(2) ()含根式的不等式考虑分析法证明(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23，即证a2b2c22(abbcac)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcac)3(abbcac)，即证a2b2c2abbcac.因为abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)，所以原不等式成立(2) .在(1)中已证abc，因此要证原不等式成立，只需证明，即证abcabbcca.而a，b，c，所以abcabbcca(abc时等号成立)所以原不等式成立方法技巧分析法证明不等式的思路用分析法证明不等式时，分析的过程是寻求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程冲关针对训练1若ab0，试证：2a3b32ab2a2b.证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证2a3b32ab2a2b0，即证2a(a2b2)b(a2b2)0，即证(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.2若m0，a，bR，试证：2.证明因为m0，所以1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证题型3反证法证明不等式(xx湖南高考)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1时等号成立(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立方法技巧反证法证明不等式的题型及思路对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题，一般用反证法其一般步骤是假设推理得出矛盾肯定原结论冲关针对训练法国数学家阿达玛说过“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”这是对反证法精辟的概括有如下用反证法证明命题：若a，b，c都是正数，则a，b，c中至少有一个不小于2.证明假设a，b，c全部小于2，即由不等式的性质，得abc0，b1，若ab2，则的最小值为()A2 B8 C4 D42答案D解析设a0，b1，ab2，(ab1)44242，当且仅当a(b1)时取等号，的最小值为42.故选D.2(xx红花岗期中)设x，y，zR，且1，求xyz的最大值与最小值解xyz422，根据柯西不等式，(x1x2y1y2z1z2)2(xyz)(xyz)，得2(1654)25，所以，5，即5425，因此，xyz3,7，故xyz的最大值为7，最小值为3.3(xx全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.4(xx南昌模拟)函数f(x).(1)若a5，求函数f(x)的定义域A；(2)设a，b(1,1)，证明：.解(1)由|x1|x2|50，当x2时，2x80，解得x4；当21时，2x20，解得x1.解得Ax|x4或x1(2)证明：2|ab|4ab|.而4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)4a24b2a2b216a2(4b2)4(b24)(b24)(4a2)，a，b(1,1)，(b24)(4a2)0，4(ab)2(4ab)2，0)(1)若a3，解关于x的不等式f(x)0；(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)f(xa)a2恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a3时，f(x)|x3|x，即|x3|x0，原不等式等价于x3x，解得2x6，故不等式的解集为x|2x6(2)f(x)f(xa)|xa|x|，原不等式等价于|xa|x|a2，由三角绝对值不等式的性质，得|xa|x|(xa)x|a|，原不等式等价于|a|0，a1.故实数a的取值范围为(1，)2(xx河北石家庄二模)设函数f(x)|x1|2x1|的最大值为m.(1)作出函数f(x)的图象；(2)若a22c23b2m，求ab2bc的最大值解(1)因为f(x)|x1|2x1|，所以f(x)画出图象如图(2)由(1)可知m.因为ma22c23b2(a2b2)2(c2b2)2ab4bc，所以ab2bc，当且仅当abc时，等号成立所以ab2bc的最大值为.3(xx广东肇庆统测)已知函数f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)若a0，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使得f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围解(1)当a0时，由f(x)g(x)，得|x1|2|x|，两边平方，并整理得(3x1)(1x)0，所以所求不等式的解集为.(2)解法一：由f(x)g(x)，得|x1|2|x|a，即|x1|2|x|a.令F(x)|x1|2|x|，依题意可得F(x)maxa.F(x)|x1|x|x|x1x|x|1|x|1，当且仅当x0时，上述不等式的等号同时成立，所以F(x)max1.所以a的取值范围是(，1解法二：由f(x)g(x)，得|x1|2|x|a，即|x1|2|x|a.令F(x)|x1|2|x|，依题意可得F(x)maxa.F(x)|x1|2|x|易得F(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，所以当x0时，F(x)取得最大值，最大值为1.故a的取值范围是(，14(xx衡阳联考)已知函数f(x)|x3|.(1)若不等式f(x1)f(x)a的解集为空集，求实数a的取值范围；(2)若|a|1，|b|3，且a0，判断与f的大小，并说明理由解(1)因为f(x1)f(x)|x4|x3|x43x|1，不等式f(x1)f(x)f.证明：要证f，只需证|ab3|b3a|，即证(ab3)2(b3a)2，又(ab3)2(b3a)2a2b29a2b29(a21)(b29)因为|a|1，|b|(b3a)2成立，所以原不等式成立5(xx泉州一模)已知函数f(x)|x1|2x4|.(1)解关于x的不等式f(x)9；(2)若直线ym与曲线yf(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值解(1)x1，不等式可化为x12x42，2x1；1x2，不等式可化为x12x44，1x2；x2，不等式可化为x12x49，x4，2x4；综上所述，不等式的解集为x|2x4(2)f(x)|x1|2|x2|，由题意作图如右，结合图象可知，A(3,6)，B(1，6)，C(2,3)；故30，abc1.求证：(1) ；(2).证明(1)由柯西不等式得()2(111)2(121212)()2()2()23，当且仅当，即abc时等号成立， .(2)由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)29，又abc1，69，.