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2019-2020年高考数学二轮复习第三篇攻坚克难压轴大题多得分第31练函数与导数练习文明考情函数与导数问题是高考的必考题，作为试卷的压轴题，在第21题或第22题的位置.知考向1.导数的几何意义.2.导数与函数的单调性.3.导数与函数的极值、最值.考点一导数的几何意义要点重组导数的几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率.方法技巧(1)已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(2)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决.1.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；解(1)由计算可知，点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，yf(x)在点(2，6)处的切线的斜率kf(2)13，切线方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0，0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).2.设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行.(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，即f(1)a12，所以a1.(2)当k1时，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根.设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0，1时，h(x)0.又h(2)3ln 2ln 80，所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1，2)时，h(x)0，所以h(x)h(1)20，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增，所以当k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根.3.已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.(1)若a1，求b的值；(2)用a表示b，并求b的最大值.解(1)当a1时，f(x)x22x，g(x)3ln xb.设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2，g(x)，由题意知，f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，由x02，得x01或x03(舍去).b.(2)设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2a，g(x).由题意知，f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，由x02a，得x0a或x03a(舍去)，即ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t0)，则h(t)2t(13ln t)，则当2t(13ln t)0，即0t时，h(t)0；当2t(13ln t)0，即t时，h(t)0.故h(t)在(0，)上的最大值为h()，故b的最大值为.考点二导数与函数的单调性方法技巧(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递减.(2)常数函数的判定方法：如果在某个区间(a，b)内，恒有f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内是常数函数，不具有单调性.(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f(x)0(或f(x)0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).4.设f(x)，其中a为正实数.(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合可知，xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号.结合与条件a0知，ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0知，00，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)，得f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a).(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使g(x)x2ax20成立，当x(2，1)时，ax2，所以实数a的取值范围是(，2).6.(xx全国)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增.若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0对x(1，1)都成立，即a(x1)对x(1，1)都成立.令y(x1)，则y10，所以y(x1)在(1，1)上单调递增，所以y(11)，即a.因此a的取值范围为.考点三导数与函数的极值、最值要点重组(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值，在x0处有f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.(3)一般地，在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数yf(x)在a，b上必有最大值与最小值.函数的最值必在极值点或区间的端点处取得.9.(xx北京)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0，又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)由(1)可知，f(x)ex(cos xsin x)1，设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.10.设函数f(x)xaln x(aR).若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴垂直，求函数f(x)的极值；解函数f(x)的定义域为(0，).f(x)1，所以f(1)5a，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为5a.由题意可得5a0，解得a5.此时，f(x).由f(x)0，解得x1或4.f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，1)1(1，4)4(4，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(1)15ln 13，极小值为f(4)45ln 4310ln 2.11.设函数f(x).(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0时，f(x)的最大值为a，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)，f(1)0，f(x)，f(1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xey10.(2)f(x)在x0时的最大值为a，等价于f(x)a对于x0恒成立，可化为a对于x0恒成立.令g(x)，则g(x)，于是g(x)在0，2上单调递增，在(2，)上单调递减，g(x)maxg(2)，a的取值范围是.12.(xx哈尔滨六中期中)已知函数f(x)2ax4ln x在x1与x处都取得极值.(1)求a，b的值；(2)若对x，f(x)c恒成立，求实数c的取值范围.解(1)f(x)2a，f(x)2ax4ln x在x1与x处都取得极值，f(1)0，f0，解得经检验适合题意.(2)由(1)知，f(x)3x4ln x，f(x)3.由f(x)0，得f(x)的单调递增区间为，由f(x)0，得f(x)的单调递减区间为和(1，)，x1是f(x)的极大值点.当x时，fe4，f(e)3e4，而ff(e)4e80，所以ff(e)，即f(x)在x上的最小值为43e，要使对x时，f(x)c恒成立，需cf(x)min43e.故实数c的取值范围是.例(12分)设函数f(x)a2x2ln x(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)如果函数f(x)的图象不在x轴的下方，求实数a的取值范围.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)f(x)a2x(x0).1分当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减.当a0时，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x.3分所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.当a0时，f(x)，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x.5分所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上，当a0时，f(x)的单调递减区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为；当a0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.6分(2)f(x)的图象不在x轴的下方，即当x0时，f(x)0恒成立，所以a2x2ln x0，即a2.7分令h(x)(x0)，则h(x)，9分由h(x)0，得0x；由h(x)0，得x.故h(x)在(0，上单调递增，在，)上单调递减.当x时，h(x)取得最大值.所以a2，解得a或a.11分故实数a的取值范围是.12分构建答题模板第一步求导：一般先确定函数的定义域，再求导数f(x).第二步转化：“判断函数单调性、求极值(最值)”常转化为“判断f(x)的符号”，“切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标”，常转化为“导数的几何意义”，“恒成立问题”常转化为“求最值”等.第三步求解：根据题意求出函数的单调区间、极值、最值等问题.第四步反思：单调区间不能用“”连接；范围问题的端点能否取到.1.已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性.解(1)对f(x)求导，得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x1时，g(x)0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0，故g(x)为减函数；当x0时，g(x)0，故g(x)为增函数.综上可知，g(x)在(，4)和(1，0)上为减函数，在(4，1)和(0，)上为增函数.2.已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0，1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0，1上的最大值和最小值.解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意对任意x(0，1)，f(x)0且a1时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对任意x(0，1)，有f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对任意x(0，1)，有f(x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件.故a的取值范围为0，1.(2)g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex.当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e；当a1时，对于任意x(0，1)，有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0；当0a0.()若1，即当0a时，g(x)在0，1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e；()若1，即当a1时，g(x)在x处取得最大值g在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，则当a时，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a1时，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.3.已知函数f(x)ln xa2x2ax(aR).若函数f(x)在区间1，)上是减函数，求实数a的取值范围.解函数f(x)ln xa2x2ax的定义域为(0，)，f(x)2a2xa.方法一当a0时，f(x)0，所以f(x)在区间1，)上是增函数，不合题意；当a0时，f(x)0(x0)，即(2ax1)(ax1)0(x0)，即x，此时f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a1；当a0时，f(x)0(x0)，即(2ax1)(ax1)0(x0)，即x.此时f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a.综上，实数a的取值范围是1，).方法二当a0时，f(x)0，所以f(x)在区间1，)上是增函数，不合题意；当a0时，要使函数f(x)在区间1，)上是减函数，只需f(x)0在区间1，)上恒成立.因为x0，所以只要2a2x2ax10在区间1，)上恒成立.所以解得a1或a.综上，实数a的取值范围是1，).4.(xx全国)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围.解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增.(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上单调递减.而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a0(x0)，所以g(x)在0，)上单调递增.而g(0)0，故g(x)g(0)，exx1.当0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0，1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.当a0时，取x0，则x0(0，1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围是1，).5.已知函数f(x)x2ax2ln x.(1)若函数yf(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1，且f(x1)tf(x2)恒成立，求实数t的取值范围.解(1)因为函数yf(x)在定义域上单调递增，所以f(x)0，即2xa0在(0，)上恒成立，所以a2x(x(0，).而2x24，所以a4，所以实数a的取值范围是(，4.(2)因为f(x)(x0)，由题意可得x1，x2为方程f(x)0，即2x2ax20(x0)的两个不同实根，所以ax12x2，ax22x2.由根与系数的关系可得x1x21.由已知0x1，则x2e.而f(x1)f(x2)(xax12ln x1)(xax22ln x2)x(2x2)2ln x1x(2x2)2ln x2(x22ln x1)(x22ln x2)xx2(ln x1ln x2)xx2ln x2ln x2ln x(x2e).设p(x)x2ln x(xe2)，则p(x)1，显然当xe2时，p(x)0，函数p(x)单调递增，故p(x)p(e2)e22ln e2e24.故f(x1)f(x2)e24，故te24.所以实数t的取值范围是.