2019-2020年高中数学第一轮复习讲义 导数（无答案） 北师大版选修2.doc

2019-2020年高中数学第一轮复习讲义 导数（无答案） 北师大版选修2一要点精讲1导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量=f(x0+x)f(x0)，比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，即=。如果当x0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f(x0)或y|。即f(x0)= =。说明：(1)函数f(x)在点x0处可导，是指x0时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。(2) x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。2导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处的切线的斜率是f(x0)。相应地，切线方程为yy0= f(x0)(xx0)。3常见函数的导出公式(1)(C)=0 (C为常数)(2) (xn)=nxn-1 (3)(ex)=ex(4)(sinx)=cosx (5)(cosx)=-sinx (6)(lnx)=4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (uv)=uv。法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)=uv+ uv。若C为常数，则(Cu)=Cu+Cu=Cu。即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu) =Cu。法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=(v0)。形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|x= y|x5导数的应用(1)一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)=0，则f(x)为常数；(2)曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3)一般地，在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值。求函数f(x)在(a,b)内的极值； 求函数f(x)在区间端点的值(a)、(b)； 将函数f(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。二典例解析题型1：导数的概念例1已知s=，(1)计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段内平均速度；(2)求t=3秒是瞬时速度。例2求函数y=的导数。题型2：导数的基本运算例3(1)求的导数；(2)求的导数；(3)求的导数；(4)求y=的导数；(5)求y的导数。例4写出由下列函数复合而成的函数： (1)y=cosu，u=1+x2 (2)y=lnu，u=lnx (3)y=e2x (4) y=eu，u=x2题型3：导数的几何意义例5(1)若曲线y=x4的一条切线与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为A4x-y-3=0 Bx+4y-5=0 C4x-y+3=0 Dx+4y+3=0(2)过点(1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为( )(A)2x+y+2=0 (B)3x-y+3=0 (C) x+y+1=0 (D) x-y+1=0例6(1)半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0,)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0,)上的变量，请你写出类似于的式子： ；式可以用语言叙述为： 。(2)曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。题型4：借助导数处理单调性、极值和最值例7(1)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1) f(x)0，则必有( )A. f(0)f(2)2f(1)(2)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )A1个 B2个 C3个 D 4个(3)已知函数。(I)设，讨论y=f(x)的单调性；(II)若对任意x(0,1)恒有f(x)1，求a的取值范围。例8(1)在区间上的最大值是( )(A)2 (B)0 (C)2 (D)4(2)设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a1。(I)求f(x)的单调区间；(II)讨论f(x)的极值。题型5：导数综合题例9设函数f(x)=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值。xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1)、(x2,f(x2)，该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点.求(I)求点A、B的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.例10设函数f(x)=，x(0,1，aR+。(1) 若f(x)在(0,1上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在(0,1上的最大值。作业一、选择题1、函数是减函数的区间为( )()()()()2. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数( )A3 B2C1 D03 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)0，则必有( )A.f(0)f(2)2f(1)4.设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围( )A B C D 5与直线的平行的抛物线的切线方程是( )AB CD6设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是 ( )A.B.C.D.7函数f(x)=x(x1)(x2)(x100)在处的导数值为 ( ) A.0 B. C.200 D.100！ 8过点(1，0)作抛物线的切线，则其中一条切线为 ( )(A) (B) (C) (D)9设函数，(、 是两两不等的常数)，则 A.0 B.-1 C.2 D.-2 10.过曲线和交点的切线与坐标轴围成的在它们的三角形的面积是( )A. B. C. D. 二、填空题1、曲线在点处的切线方程是_；2、函数，已知在时取得极值，则=_ _；3、设曲线在点(1,)处的切线与直线平行,则_；4、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_；5、曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 ；三、解答题1.已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. ()a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ()若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.2已知f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且，f(5)=30,则求g(4)。3已知向量=(1，0)，=(0，1)，函数的图象在轴上的截距为1，在=2处切线的方向向量为，并且函数当时取得极值。(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)求的极值。4.设a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.5设，点P(，0)是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.；()用表示a，b，c；()若函数在(1，3)上单调递减，求的取值范围.6.已知函数。(1)当时，求函数的单调增区间；(2)求函数在区间上的最小值；(3)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围。