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2019-2020年高中数学第一轮复习讲义 导数(无答案) 北师大版选修2一要点精讲1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x,那么函数y相应地有增量=f(x0+x)f(x0),比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率,即=。如果当x0时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作f(x0)或y|。即f(x0)= =。说明:(1)函数f(x)在点x0处可导,是指x0时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x0处不可导,或说无导数。(2) x是自变量x在x0处的改变量,x0时,而y是函数值的改变量,可以是零。2导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处的切线的斜率是f(x0)。相应地,切线方程为yy0= f(x0)(xx0)。3常见函数的导出公式(1)(C)=0 (C为常数)(2) (xn)=nxn-1 (3)(ex)=ex(4)(sinx)=cosx (5)(cosx)=-sinx (6)(lnx)=4两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (uv)=uv。法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:(uv)=uv+ uv。若C为常数,则(Cu)=Cu+Cu=Cu。即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:(Cu) =Cu。法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:=(v0)。形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解求导回代。法则:y|x= y|x5导数的应用(1)一般地,设函数y=f(x)在某个区间可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则f(x)为减函数;如果在某区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数;(2)曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;(3)一般地,在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值。求函数f(x)在(a,b)内的极值; 求函数f(x)在区间端点的值(a)、(b); 将函数f(x)的各极值与(a)、(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。二典例解析题型1:导数的概念例1已知s=,(1)计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段内平均速度;(2)求t=3秒是瞬时速度。例2求函数y=的导数。题型2:导数的基本运算例3(1)求的导数;(2)求的导数;(3)求的导数;(4)求y=的导数;(5)求y的导数。例4写出由下列函数复合而成的函数: (1)y=cosu,u=1+x2 (2)y=lnu,u=lnx (3)y=e2x (4) y=eu,u=x2题型3:导数的几何意义例5(1)若曲线y=x4的一条切线与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为A4x-y-3=0 Bx+4y-5=0 C4x-y+3=0 Dx+4y+3=0(2)过点(1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为( )(A)2x+y+2=0 (B)3x-y+3=0 (C) x+y+1=0 (D) x-y+1=0例6(1)半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,)上的变量,则(r2)2r ,式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球,若将R看作(0,)上的变量,请你写出类似于的式子: ;式可以用语言叙述为: 。(2)曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。题型4:借助导数处理单调性、极值和最值例7(1)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1) f(x)0,则必有( )A. f(0)f(2)2f(1)(2)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )A1个 B2个 C3个 D 4个(3)已知函数。(I)设,讨论y=f(x)的单调性;(II)若对任意x(0,1)恒有f(x)1,求a的取值范围。例8(1)在区间上的最大值是( )(A)2 (B)0 (C)2 (D)4(2)设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a1。(I)求f(x)的单调区间;(II)讨论f(x)的极值。题型5:导数综合题例9设函数f(x)=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值。xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1)、(x2,f(x2),该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点.求(I)求点A、B的坐标;(II)求动点Q的轨迹方程.例10设函数f(x)=,x(0,1,aR+。(1) 若f(x)在(0,1上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在(0,1上的最大值。作业一、选择题1、函数是减函数的区间为( )()()()()2. 在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数( )A3 B2C1 D03 对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)0,则必有( )A.f(0)f(2)2f(1)4.设,曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为,则P到曲线对称轴距离的取值范围( )A B C D 5与直线的平行的抛物线的切线方程是( )AB CD6设分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,且则不等式的解集是 ( )A.B.C.D.7函数f(x)=x(x1)(x2)(x100)在处的导数值为 ( ) A.0 B. C.200 D.100! 8过点(1,0)作抛物线的切线,则其中一条切线为 ( )(A) (B) (C) (D)9设函数,(、 是两两不等的常数),则 A.0 B.-1 C.2 D.-2 10.过曲线和交点的切线与坐标轴围成的在它们的三角形的面积是( )A. B. C. D. 二、填空题1、曲线在点处的切线方程是_;2、函数,已知在时取得极值,则=_ _;3、设曲线在点(1,)处的切线与直线平行,则_;4、已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为_;5、曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 ;三、解答题1.已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段. ()a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; ()若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.2已知f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且,f(5)=30,则求g(4)。3已知向量=(1,0),=(0,1),函数的图象在轴上的截距为1,在=2处切线的方向向量为,并且函数当时取得极值。(1)求的解析式;(2)求的单调递增区间;(3)求的极值。4.设a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.5设,点P(,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.;()用表示a,b,c;()若函数在(1,3)上单调递减,求的取值范围.6.已知函数。(1)当时,求函数的单调增区间;(2)求函数在区间上的最小值;(3)设,若存在,使得成立,求实数的取值范围。
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