2019-2020年高考数学大一轮复习第三章导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题学案理北师大版.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习第三章导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题学案理北师大版【考点自测】1若函数f(x)2sin x(x0，)的图像在点P处的切线平行于函数g(x)2的图像在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为()A. B2C. D.答案A解析f(x)2cos x2,2，g(x)2(当且仅当x1时取等号)当两函数的切线平行时，xp0，xQ1.即P(0,0)，Q，直线PQ的斜率为.2(xx全国)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3 C5e3 D1答案A解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.3(xx西宁质检)若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减少的，则b的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1 D(，1)答案C解析由题意可知f(x)x0在(1，)上恒成立，即bx(x2)在(1，)上恒成立由于g(x)x(x2)在(1，)上是增加的且g(1)1，所以b1.故选C.4若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b .答案1ln 2解析yln x2的切线方程为yxln x11(设切点横坐标为x1)yln(x1)的切线方程为yxln(x21)(设切点横坐标为x2)，解得x1，x2，bln x111ln 2.5(xx江苏)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是 答案解析因为f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)，所以f(x)x32xex是奇函数因为f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a)因为f(x)3x22exex3x2223x20，当且仅当x0时“”成立，所以f(x)在R上是增加的，所以2a21a，即2a2a10，所以1a.题型一利用导数研究函数性质例1 (xx沈阳质检)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，)，所以g(x)2a.当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)是增加的；当a0，x时，g(x)0，函数g(x)是增加的，x时，g(x)0，函数g(x)是减少的所以当a0时，函数g(x)的递增区间为(0，)；当a0时，函数g(x)的递增区间为，递减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)是增加的，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是减少的，当x(1，)时，f(x)0，f(x)是增加的，所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意；当0a，即1时，由(1)知f(x)在是增加的可得当x(0,1)时，f(x)0，当x时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)上是减少的，在上是增加的所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意；当a，即1时，f(x)在(0,1)上是增加的，在(1，)上是减少的，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)是减少的，不符合题意；当a，即01时，当x时，f(x)0，f(x)是增加的，当x(1，)时，f(x)0，f(x)是减少的所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意综上可知，实数a的取值范围为.思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值已知f(x)的单调性，可转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析跟踪训练1 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex (xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上是增加的，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即a(x1)对x(1,1)都成立令y(x1)，则y10.所以y(x1)在(1,1)上是增加的，所以y0)，由f(x)0，得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上是增加的，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上是增加的；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点(1)解函数的定义域为(0，)由f(x)kln x(k0)，得f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上随x的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的递减区间是(0，)，递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f()，无极大值(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，上是减少的且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点；当ke时，f(x)在区间(1，上是减少的且f(1)0，f()0)，f(1)ab0，f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，a1，b1.(2)证明f(x)x2ln xx1，f(x)(x1)2x2ln xxx2，设g(x)x2ln xxx2(x1)，则g(x)2xln xx1.由(g(x)2ln x10，得g(x)在1，)上是增加的，g(x)g(1)0，g(x)在1，)上是增加的，g(x)g(1)0.f(x)(x1)2.(3)解设h(x)x2ln xxm(x1)21(x1)，则h(x)2xln xx2m(x1)1，由(2)知x2ln x(x1)2x1x(x1)，xln xx1，h(x)3(x1)2m(x1)(32m)(x1)当32m0，即m时，h(x)0，h(x)在1，)上是增加的，h(x)h(1)0成立当32m时，h(x)2xln x(12m)(x1)，(h(x)2ln x32m，令(h(x)0，得x01，当x1，x0)时，h(x)是减少的，则h(x)h(1)0，h(x)在1，x0)上是减少的，h(x)h(1)0，即h(x)0不成立综上，m.思维升华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解跟踪训练3 已知函数f(x)x32x2xa，g(x)2x，若对任意的x11,2，存在x22,4，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是 答案解析问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，显然，g(x)是减少的，g(x)maxg(2)，g(x)ming(4)；对于f(x)，f(x)3x24x1，令f(x)0，解得x或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况列表如下：x1(1，)1(1,2)2f(x)00f(x)a4aaa2f(x)maxa2，f(x)mina4，a.1(xx浙江)已知函数f(x)(x)ex.(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围解(1)因为(x)1，(ex)ex，所以f(x)ex(x)ex.(2)由f(x)0，解得x1或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1f(x)00f(x)0又f(x)(1)2ex0，所以f(x)在区间上的取值范围是.2已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a的值；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)是增加的，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点3(xx长春质检)已知函数f(x)x22exm1，g(x)x (x0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)g(x)x22e(x0)，当且仅当x时取等号，当xe时，g(x)有最小值2e.要使g(x)m有零点，只需m2e.即当m2e，)时，g(x)m有零点(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，则函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点如图，作出函数g(x)x(x0)的大致图像f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为xe，f(x)maxm1e2.若函数f(x)与g(x)的图像有两个交点，则m1e22e，即当me22e1时，g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)4(xx广西质检)已知函数f(x)aln x(a0，aR)(1)若a1，求函数f(x)的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e上至少存在一点x0，使得f(x0)0成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，由f(x)0，得0x0，得x1，所以当x1时，f(x)有极小值1，无极大值；f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0,1)(2)f(x)，且a0，x0.令f(x)0，得x，若在区间(0，e上存在一点x0，使得f(x0)0成立，即f(x)在区间(0，e上的最小值小于0.当0，即a0时，f(x)0在(0，e上恒成立，即f(x)在区间(0，e上是减少的，故f(x)在区间(0，e上的最小值为f(e)aln ea，由a0，得a0，即a0时，若e，则f(x)0对x(0，e恒成立，所以f(x)在区间(0，e上是减少的，则f(x)在区间(0，e上的最小值为f(e)aln ea0，显然f(x)在区间(0，e上的最小值小于0不成立；若0时，则当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值所以f(x)在区间(0，e上的最小值为f aaln ，由f aaln a(1ln a)0，得1ln ae，即a(e，)综上可知，a(e，)5(xx届珠海二中月考)已知函数f(x)xaln x，aR.(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)设g(x)，若不等式f(x)g(x)对任意x1，e恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)1(x0)，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上是增加的，所以f(x)在(0，)上没有极值点当a0时，由f(x)0，得0x0，得xa，所以f(x)在(0，a)上是减少的，在(a，)上是增加的，即f(x)在xa处有极小值，无极大值所以当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)设h(x)f(x)g(x)xaln x(x0)，则h(x)1，不等式f(x)g(x)对任意x1，e恒成立，即函数h(x)xaln x在1，e上的最小值大于零当1ae，即ae1时，h(x)在1，e上是减少的，所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)ea0，可得ae1，所以e1a0，可得a2，即2a0；当11ae，即0ae1时，可得h(x)的最小值为h(1a)，因为0ln(1a)1，所以0aln(1a)2，即0a0时，求函数F(x)的单调区间；(2)当ae时，直线xm，xn(m0，n0)与函数f(x)，g(x)的图像一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形求证：(m1)(n1)0时，F(x)0，故F(x)的递增区间为(，0)，(0，)，无递减区间(2)证明因为直线xm与xn平行，故该四边形为平行四边形等价于f(m)g(m)f(n)g(n)且m0，n0.当ae时，F(x)f(x)g(x)ex(x0)，则F(x)ex，令g(x)F(x)ex，则g(x)ex0，故F(x)ex在(0，)上是增加的而F(1)e0，故当x(0,1)时，F(x)0，F(x)是增加的而F(m)F(n)，故0m1n或0n1m，所以(m1)(n1)0.