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2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式例题与探究新人教A版必修典题精讲例1计算:sin33cos27+sin57cos63.思路分析:题目中都是非特殊角,不能直接计算,可将sin57化为cos33,cos63化为sin27,再逆用两角和差的正、余弦公式,则迎刃而解.解:原式=sin33cos27+cos33sin27=sin(33+27)=sin60=.或:原式=cos57cos27+sin57sin27=cos(57-27)=cos30=.绿色通道:从整体出发,对局部进行三角变换,出现特殊值是求值常用的方法.变式训练(xx陕西高考卷,文13)cos43cos77+sin43cos167的值为_.思路解析:cos43cos77+sin43cos167=cos43cos77-sin43sin77=cos120=-.答案:-例2已知、(-、),tan、tan是一元二次方程x2+3x+4=0的两根,求+.思路分析:由根与系数关系,可得tan+tan,tantan,因此可先求tan(+),根据其正切值就可以求得其角度.解:由题意,知tan+tan=-,tantan=4,tan(+)=.又、(-,),且由知(-,0),(-,0).+(-,0).+=-.黑色陷阱:本题易由、(-,)得出+(-,),从而得出+=-或,而忽视了隐含条件tan0,tan0对、范围的限制.变式训练(xx湖北高考卷,理3)若ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA等于( )A. B.- C. D.-思路解析:由sin2A=2sinAcosA0,可知A是锐角,所以sinA+cosA0,又(sinA+cosA)2=1+sin2A=.答案:A例3已知tan=,tan=,0,则+2等于( )A. B. C.或 D.思路解析:先求+2的某一三角函数值,显然选择正切较简单.tan2=,tan(+2)=1.tan=1,0.tan2=1,02.0+2.+2=.答案:B黑色陷阱:若本题只考虑0,则+2(0,),误解为或,原因是忽视了tan、tan的值对、取值范围的进一步限制.变式训练(xx福建高考卷,文4)已知(,),sin=,则tan(+)等于( )A. B.7 C.- D.-7思路解析:由(,),sin=,则tan=,tan(+)=.答案:A例4(xx浙江高考卷,理6)函数y=sin2x+sin2x,xR的值域是( )A.-, B.-,C.+,+ D.-,-思路解析:首先要对所给的函数表达式进行变换,用降幂公式化为Asin(x+)+B的形式再解.y=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+ ,故选C.答案:C绿色通道:三角函数的最值一般有两种思路:一是化为Asin(x+)+B的形式;二是化为a(sinx-b)2+c的形式利用二次函数的图象求解.变式训练当x-,时,求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期,最大值及此时的x值.思路分析:首先要对所给的函数表达式进行变换,用降幂公式化为Asin(x+)+B的形式再解.解:f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+)+2,周期T=.当x-,时,2x+,.sin(2x+)-1,1,f(x)2-,2+.f(x)max=2+.由2x+=2k+得x=k+.又x-,x=,即当x=时,f(x)的最大值为2+.问题探究问题如图3-1-1,在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于P0,以Ox为始边分别作出角、-,其终边分别和单位圆交于P1、P2、P3,由,你能否导出两角差的余弦公式?图3-1-1导思:利用向量将三角公式与几何图形联系起来,向量的“曼妙”让令人生厌的三角公式摇身一变为婀娜多姿的几何图形,起到了化腐朽为神奇的效果! 探究:能,由已知条件可知点P0、P1、P2、P3的坐标分别是P0(1,0),P1(cos,sin),P2(cos,sin),P3(cos(-),sin(-),=,=.由导出公式:cos(-)-12+sin2(-)=(cos-cos)2+(sin-sin)2.展开并整理得2-2cos(-)=2-2(coscos+sinsin).所以cos(-)=coscos+sinsin.(C(+)
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