2019-2020年高中数学小问题集中营专题1.1易丢点无处不在的空集问题.doc

2019-2020年高中数学小问题集中营专题1.1易丢点无处不在的空集问题一、问题的提出在集合的学习过程中，许多同学对空集这个特殊的集合理解往往不是很深刻，尤其在一些解题过程中，由于对空集的理解不到位，经常会漏掉空集这种特殊集合，导致解题错误，为帮组学生走出误区，减少失误，特策划此专题。二、问题的探源1.不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一个单元素集，不是空集。从而，都成立。2.若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则。3.由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B” 或AB，时，一定要分A和A两种情况进行讨论，其中A的情况易被忽略，应引起足够的重视三、问题的佐证一、不了解空集的定义而忽略空集的存在例1. ，MP|P为A的子集，NQ|Q为B的子集，那么（ ）A. B. C. D. 解：由于A、B的子集中都有，即，而相对M、N来说是作为一个元素的身份出现，则，应选B。二、在集合的运算过程中，不了解空集的性质而忽视空集的存在例2. 设集合，若，求实数a的范围。当B0，4时，由韦达定理得，解得a1。综上知，所求实数a的范围为。三、不了解空集的实质而忽视空集的存在例3. 集合， ，若，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先由得，再根据及分类讨论，最后求两者并集得实数的取值范围.试题解析：解：由，得.当时，有： ，解得.当时，由数轴可得，解得.综上可知，实数的取值范围为.四、问题的解决1下列关系中表述正确的是（ ）A B C D【答案】D【解析】集合中只有一个元素，即方程，而不是0，故A错；集合中只有一个元素，即点，而非0，故B错；空集不含任何元素，故C错，选D.2下列表述中正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】由集合元素的无序性知B正确.3下列说法中，正确的是（ ）A空集没有子集B空集是任何一个集合的真子集C空集的元素个数为零D任何一个集合必有两个或两个以上的子集【答案】C4下列四个集合中，是空集的是（ ）A BC D【答案】D【解析】A中；B中；C中；D中5已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A BC D【答案】C6已知集合 ，若，则等于_.【答案】 【解析】由题意知，则，当时，符合题意；当时，集合，解得或，综上，的值为，故答案为.7. 已知集合， ，若，则的取值范围为_【答案】或【解析】由解得或，所以，因为，所以可能，分别分析，当即时，符合题意，再有根与系数的关系知， 时， 符合题意， 不符合题意，故填或8. 已知函数的定义域为集合， （）若，求（）若，求实数的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先得到函数的定义域A，再根据集合关系求出参数值；（2）由知道B是A的子集，根据集合间的包含关系得到和两种情况.最终需要将两种情况并到一起.（），即，若，则，（）若，则，分情况讨论：当时， ，解得： ；当时， ，解得： ；综上所述，实数的取值范围是： 9.设全集，已知集合 ， (1)求；(2)记集合，已知集合，若BAA，求实数的取值范围【解析】(1) ， ， 10. 已知集合 (1)当时，用列举法表示出集合C；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 【解析】(1)当时， 则，所以(2)若，则当时， ,解得；当时，由,解得综上所述，实数的取值范围是11. 已知集合，全集（）求（）已知集合，若，求实数的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题解析: (1)根据指数函数的单调性求出集合A,进而求出;(2)对集合C是否为空集,进行分类讨论,求出a的取值范围.12. 已知集合，集合.（1）若，求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】（1）或 .（2）,当 时，满足要求， 此时， 得;当 时，要，则，解得，由 得， 实数 的取值范围.