2019-2020年高三数学上学期期末复习备考黄金30题 专题04 大题好拿分（提升版20题）苏教版.doc

2019-2020年高三数学上学期期末复习备考黄金30题 专题04 大题好拿分（提升版，20题）苏教版一、解答题1（13分）如图，椭圆经过点，离心率，直线l的方程为（1）求椭圆C的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、的斜率分别为、问：是否存在常数，使得? 若存在，求的值； 若不存在，请说明理由【答案】（1）（2） 又将代入得， ， 12分故存在常数符合题意 13分考点：1椭圆的简单几何性质；2直线与椭圆的位置关系问题2函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）若判断的奇偶性；（3）是否存在实数使函数在2,3递增，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）奇函数(3) （2）易知，且，关于原点对称，又，为奇函数.（3）令，在上单调递减，又函数在递增，又函数在的最大值为1，即，符合题意.即存在实数，使函数在递增，并且最大值为 .点睛：本题主要考查函数的基本性质，考查奇偶性的判断，考查复合函数的单调性等知识.第一问考查函数的定义域，需要对数的真数大于零.第二问考查函数的奇偶性，判断的时候先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断和的关系，由此判断的单调性.复合函数单调性判断主要是根据同增异减. 3已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围【答案】（1）（2）（3）（2）令，且定义域为所以,令，列表如下：1+0-递增极大值递减考点：1.运用导数求函数的单调性;2.函数思想及导数的运用和零点判定定理的运用; 3.函数思想及导数的运用.4（xx秋扬州期末）若数列an中不超过f（m）的项数恰为bm（mN*），则称数列bm是数列an的生成数列，称相应的函数f（m）是数列an生成bm的控制函数（1）已知an=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；（2）已知an=2n，且f（m）=m，求bm的前m项和Sm；（3）已知an=2n，且f（m）=Am3（AN*），若数列bm中，b1，b2，b3是公差为d（d0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值【答案】（1）b1=1；b2=2；b3=3（2）（3）d=3，A=64或65【解析】试题分析：（1）利用生成数列，与控制函数的意义即可得出（2）对m分类讨论：可得bm进而得出前n项和（3）依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列an中，不超过A的项恰有t项，所以2tA2t+1，同理：2t+d8A2t+d+1，2t+2d125A2t+2d+1，可得d4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论即可得出解：（1）m=1，则a1=11，b1=1；m=2，则a1=14，a2=44，b2=2；m=3，则a1=19，a2=49，a3=99，b3=3（2）m为偶数时，则2nm，则；m为奇数时，则2nm1，则；，m为偶数时，则；m为奇数时，则；b3=10，4t7，t为整数，t=4，t=5，t=6或t=7f（3）=27A，b3=10，21027A211，当t=4时，无解当t=5时，无解当t=6时，当t=7时，无解，AN*，A=64或A=65综上：d=3，A=64或65考点：数列的应用5（xx秋扬州期末）已知函数f（x）=（ax2+x+2）ex（a0），其中e是自然对数的底数（1）当a=2时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在2，2上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在t，t+1上有解【答案】（1），；（2）a的取值范围是（3）t=4，0（2）问题转化为f（x）=ax2+（2a+1）x+3ex0在x2，2上恒成立；又ex0即ax2+（2a+1）x+30在x2，2上恒成立；令g（x）=ax2+（2a+1）x+3，a0，对称轴当12，即时，g（x）在2，2上单调增，g（x）的最小值g（x）=g（2）=10，0a当210，即时，g（x）在2，1上单调减，在1，2上单调增，=（2a+1）212a0，解得：，a1+，综上，a的取值范围是考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义6某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系.（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为）【答案】（1）40（2）拱高为米，拱宽为米（2）抛物线最大拱高为h米，抛物线过点，代入抛物线方程得：令，则，解得：，则， 即 当时，；当时，即在上单调减，在上单调增，在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小 考点：求抛物线方程，利用导数求最值7如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），为坐标原点.（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围【答案】（1）（2）直线的方程为：，直线的方程为： 由解得： 点的横坐标为 （2）设 ， 即 联立方程得：，消去得：解得：或 解得：综上，椭圆离心率的取值范围为考点：椭圆离心率8在极坐标系中，圆的极坐标方程为，已知，为圆上一点，求面积的最小值【答案】 考点：极坐标方程化为直角坐标方程9如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为 由，得 ，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为考点：直线与椭圆位置关系10（本小题满分16分）已知为实数，函数，函数（1）当时，令，求函数的极值；（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）【解析】试题解析：（1），令，得 1分列表：x0 + 极小值 所以的极小值为，无极大值 4分（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立 5分1）当时， 可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；（*）则，令，则时，因为， 故，所以函数在时单调递减， 2）当时，可化为，令，问题转化为：对任意的恒成立；（*）则，令，则时，故，所以函数在时单调递增，即，从而函数在时单调递增，所以，此时（*）成立；11分当时，）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立； 13分）若，则，所以当时，故函数在上单调递减，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；所以当，恒成立时，； 15分综上所述，当，恒成立时， ，从而实数的取值集合为 16分考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性11在数列中，已知，数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，其中为正整数.(1)求数列的通项公式；(2)问是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ， (2) 当时，两式相减得， 4分所以数列的奇数项成公差为2的等差，偶数项也成公差为2的等差又，可解得 6分因为，所以又，所以数列成公比为的等比数列所以 8分考点：由数列和项求通项，数列综合应用12已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.(1)若时，求的值；(2)若时，证明直线过定点.【答案】(1) (2)详见解析试题解析：(1)将直线方程代入椭圆方程得： 2分解得4分所以 6分所以8分(2) 设将直线方程代入椭圆方程得： 10分考点：直线与椭圆位置关系13如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开，得到截面.(1)请在木块的上表面作出过的锯线，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形，试证明：平面平面.【答案】(1)如图 (2)详见解析【解析】试题分析：（1）在上底面内过点作的平行线分别交、于、两点，即即为所作的锯线. 在四棱柱中，易知四边形是平行四边形即，再由（2）证明：由于四边形是矩形，所以，又，所以.又因为四棱柱的底面是菱形，所以.因为，平面，平面，所以平面，因为平面是，所以平面平面.考点：1.平面与平面平行的性质及其判定定理；2.平面与平面垂直的判定定理；3.线面垂直的判定定理；14已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x2(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，恒有f(x)kg(x)，求k的取值范围【答案】（1）因为曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为，故； ，故，故；所以， ；（2）令，则，由题设可得，故，令得，（1）若，则，从而当时， ，当时，即在上最小值为，此时f(x)kg(x)恒成立；（2）若， ，故在上单调递增，因为所以f(x)kg(x)恒成立（3）若，则，故f(x)kg(x)不恒成立；综上所述k的取值范围为.考点：用导数研究函数的性质视频15（xx秋扬州期末）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）【答案】（1）40米；（2）当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小（2）抛物线最大拱高为h米，h6，抛物线过点（10，（h），代入抛物线方程得：令y=h，则，解得：，则，h6，6，即20l40，当时，S0；当时，S0，即S在上单调减，在（20，40上单调增，S在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小考点：直线与圆锥曲线的关系16设函数。（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由。【答案】（1）5；（2）；（3）存在， ，理由见解析（2）易知函数的定义域为，又，由题意，得的最小值为负， （注：结合函数图象同样可以得到）， ， ， （以下解法供参考，请酌情给分）解法2： ，其中根据条件对任意正数恒成立即对任意正数恒成立 且，解得且，即时上述条件成立此时解法3： ，其中设 ， 函数单调递增， 函数单调递减，要使得对任意正数恒成立，只能是函数， 的与轴的交点重合，即，所以考点：1导函数的应用；2不等式恒成立问题17已知函数，设数列满足：，.（1）求证：，都有；（2）求证：【答案】（1）详见解析（2）详见解析 （2）由（1）可得两边同时取为底的对数，可得化简为所以数列是以为首项，为公比的等比数列 ，化简求得：，时， 时，时，考点：数学归纳法，数列综合应用18已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围（3）讨论极值点的个数【答案】（1）（2）（3）当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点试题解析：（1）由题意，因为的图象在处的切线与直线垂直， 所以，解得 （2）法一：由，得，即对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以，（3）因为由题意，可得，所以只有一个极值点或有三个极值点令，若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，即为单调递增函数或者极值同号 ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得12分）当极值同号时，设为极值点，则，由有解，得，且，考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数极值19对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：在内单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域为；那么把（）叫闭函数.（1）求闭函数符合条件的区间；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）不是闭函数，理由见解析；（3）（2）取，则，即不是上的减函数，取，即不是上的增函数，所以函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.（3）若是闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，即，为方程的两个实根，即方程有两个不等的实根，当时，有，解得，当时，有，无解综上所述，.考点：1、新定义；2、函数的单调性；3、不等式的解法20（本题满分16分）已知函数， （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，求证： （取为，取为，取为）【答案】（1）（2）（3）详见解析，即，为研究等式右边范围构造函数，易得在上单调递增，因此当时，有即，所以，再利用基本不等式进行放缩： ，即，再一次构造函数，易得其在上单调递增，而，因此，即（3）由题意知， ，两式相加得，两式相减得，考点：导数几何意义，导数综合应用