2019-2020年中考数学思维方法讲义：第13讲 直线和圆的位置关系.doc

状元廊学校数学思维方法讲义之十三 年级：九年级2019-2020年中考数学思维方法讲义：第13讲 直线和圆的位置关系 圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点。【知识纵横】直线和圆的位置关系： 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d直线与圆相交d_ _ r；直线与圆相切d_ _ r；直线与圆相离d_ _r。圆的切线：1一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的_ _；这个公共点叫做_ _；2两种判定：若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；3判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”： 一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点； 二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断； 三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。4四条性质：切线有许多重要性质 圆心到切线的距离等于圆的_ _； 过切点的半径垂直于_ _； 经过圆心，与切线垂直的直线必经过_ _； 经过切点，与切线垂直的直线必经过_ _。 5弦切角 定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 推论 ：a)两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；b)弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。【典例精析】考点1: 直线和圆的位置关系【例1】1、如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点, 设，则的取值范围是_2、射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm为半径的圆与ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒）变式一：1、如图，在RtABC中，C=90，A=30，AB=若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DEAC交AB边于点E（1）当点D运动到线段AC中点时，DE= ；（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作C，当DE= 时，C与直线AB相切2、如图，在直角梯形ABCD中，已知ADBC，C=90，且ABAD+ BC，AB是O直径，则直线CD与O的位置关系为_ _考点2: 圆的切线的性质基本运用【例2】已知直线PD垂直平分O的半径OA于点B，PD交O于点C、D，PE是O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F（1）若O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=，求EF的长变式二：如图，O是ABC的外接圆，FH是O 的切线，切点为F，FHBC，连结AF交BC于E，ABC的平分线BD交AF于D，连结BF（1）证明：AF平分BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF4，DE3，求AD的长考点3:切线的判定定理运用【例4】如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD，过点D作DEAC，垂足为点E，交AB的延长线于点F（1）求证：EF是O的切线；（2）如果O的半径为5，sinADE=，求BF的长【例5】如图，在O中，直径ABCD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交O于点G，交过C的直线于F，1=2，连结CB与DG交于点N（1）求证：CF是O的切线；（2）求证：ACMDCN；（3）若点M是CO的中点，O的半径为4，cosBOC=，求BN的长变式三：如图，中，以为直径作交边于点，是边的中点，连接（1）求证：直线是的切线；CEBAOFD（2）连接交于点，若，求的值【思维拓展】【例6】如图，PA为O的切线，A为切点，直线PO交O与点E，F，过点A作PO的垂线AB垂足为D，交O与点B，延长BO与O交与点C，连接AC，BF（1）求证：PB与O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tanF=，求cosACB的值【例7】已知AB是O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA（1）当OC=时（如图），求证：CD是O的切线；（2）当OC时，CD所在直线于O相交，设另一交点为E，连接AE当D为CE中点时，求ACE的周长；连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AEED的值；若不存在，请说明理由变式四：如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EFME，交BC于点F，连接DE、MF（1）求证：EF是所在D的切线；（2）当MA=时，求MF的长；（3）试探究：MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由【课后测控】1、如图1，半径为1cm的切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到与也相切时，圆心移动的水平距离是_cm2、如图2，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BCAC于点C，交半圆于点F已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是图1 图2 图3 3、如图，在RtAOB中，OA=OB=3，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 4、如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上。若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是_；若正方形DEFG的面积为100，且ABC的内切圆半径=4，则半圆的直径AB = _5、如图，已知直线交O于A、B两点，AE是O的直径，点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作，垂足为D(1) 求证：CD为O的切线；(2) 若DC+DA=6，O的直径为10，求AB的长度6、如图，直线经过O上的点，并且，O交直线于，连接（1）求证：直线是O的切线；（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若，O的半径为3，求的长7、如图，已知AB是O直径，BC是O的弦，弦EDAB于点F，交BC于点G，过点C作O的切线与ED的延长线交于点P（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长部分答案与提示：【例2】考点：切线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；解直角三角形 分析：（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分O的半径OA于点B，O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长；（2）由PE是O的切线，易证得PEF=90AEO，PFE=AFB=90A，继而可证得PEF=PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF；（3）首先过点P作PGEF于点G，易得FPG=A，即可得FG=PFsinA=13=5，又由等腰三角形的性质，求得答案解答：解：（1）连接OD，直线PD垂直平分O的半径OA于点B，O的半径为8，OB=OA=4，BC=BD=CD，在RtOBD中，BD=4，CD=2BD=8；（2）PE是O的切线，PEO=90，PEF=90AEO，PFE=AFB=90A，OE=OA，A=AEO，PEF=PFE，PE=PF；（2）过点P作PGEF于点G，PGF=ABF=90，PFG=AFB，FPG=A，FG=PFsinA=13=5，PE=PF，EF=2FG=10H变式二：2.证明（1）连结OFFH是O的切线OFFH 1分FHBC ，OF垂直平分BC 2分AF平分BAC 3分（2）证明：由（1）及题设条件可知1=2，4=3，5=2 4分H1+4=2+31+4=5+3 5分FDB=FBDBF=FD 6分 （3）解： 在BFE和AFB中5=2=1，F=FBFEAFB 7分， 8分 9分 AD= 10分【例4】考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）连结OD，AB为0的直径得ADB=90，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为ABC的中位线，所以ODAC，而DEAC，则ODDE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由DAC=DAB，根据等角的余角相等得ADE=ABD，在RtADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在RtADE中可计算出AE=，然后由ODAE，得FDOFEA，再利用相似比可计算出BF解答：（1）证明：连结OD，如图，AB为0的直径，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分BC，即DB=DC，OA=OB，OD为ABC的中位线，ODAC，DEAC，ODDE，EF是0的切线；（2）解：DAC=DAB，ADE=ABD，在RtADB中，sinADE=sinABD=，而AB=10，AD=8，在RtADE中，sinADE=，AE=，ODAE，FDOFEA，=，即=，BF=【例5】考点：圆的综合题；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质 分析：（1）根据切线的判定定理得出1+BCO=90，即可得出答案；（2）利用已知得出3=2，4=D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可解答：（1）证明：BCO中，BO=CO，B=BCO，在RtBCE中，2+B=90，又1=2，1+BCO=90，即FCO=90，CF是O的切线；（2）证明：AB是O直径，ACB=FCO=90，ACBBCO=FCOBCO，即3=1，3=2，4=D，ACMDCN；（3）解：O的半径为4，即AO=CO=BO=4，在RtCOE中，cosBOC=，OE=COcosBOC=4=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE=，AC=2，BC=2，AB是O直径，ABCD，由垂径定理得：CD=2CE=2，ACMDCN，=，点M是CO的中点，CM=AO=4=2，CN=，BN=BCCN=2=【例6】考点：圆的综合题；探究型；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线；（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证（3）连接BE，构建直角BEF在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=x；然后由面积法求得BD=x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在RtABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余弦三角函数的定义求解解答：（1）证明：连接OA，PA与圆O相切，PAOA，即OAP=90，OPAB，D为AB中点，即OP垂直平分AB，PA=PB，在OAP和OBP中，OAPOBP（SSS），OAP=OBP=90，BPOB，则直线PB为圆O的切线；（2）答：EF2=4DOPO证明：OAP=ADO=90，AOD=POA，OADOPA，=，即OA2=ODOP，EF为圆的直径，即EF=2OA，EF2=ODOP，即EF2=4ODOP；（3）解：连接BE，则FBE=90tanF=，=，可设BE=x，BF=2x，则由勾股定理，得EF=x，BEBF=EFBD，BD=x又ABEF，AB=2BD=x，RtABC中，BC=x，AC2+AB2=BC2，122+（x）2=（x）2，解得：x=4，BC=4=20，cosACB=【例7】考点：圆的综合题；存在型；分类讨论；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；等边三角形的判定与性质；梯形；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的判定与性质分析：（1）关键是利用勾股定理的逆定理，判定OCD为直角三角形，如答图所示；（2）如答图所示，关键是判定EOC是含30度角的直角三角形，从而解直角三角形求出ACE的周长；符合题意的梯形有2个，答图展示了其中一种情形在求AEED值的时候，巧妙地利用了相似三角形，简单得出了结论，避免了复杂的运算解答：（1）证明：连接OD，如答图所示由题意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=，OD2+CD2=OC2由勾股定理的逆定理可知，OCD为直角三角形，则ODCD，又点D在O上，CD是O的切线（2）解：如答图所示，连接OE，OD，则有CD=DE=OD=OE，ODE为等边三角形，1=2=3=60；OD=CD，4=5，3=4+5，4=5=30，EOC=2+4=90，因此EOC是含30度角的直角三角形，AOE是等腰直角三角形在RtEOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30=，在等腰直角三角形AOE中，AE=OA=，ACE的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6+存在，这样的梯形有2个答图是D点位于AB上方的情形，同理在AB下方还有一个梯形，它们关于直线AB成轴对称OA=OE，1=2，CD=OA=OD，4=5，四边形AODE为梯形，ODAE，4=1，3=2，3=5=1，在ODE与COE中，ODECOE，则有，CEDE=OE2=22=41=5，AE=CE，AEDE=CEDE=4综上所述，存在四边形AODE为梯形，这样的梯形有2个，此时AEDE=4变式四：考点：圆的综合题；几何综合题；切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理分析：（1）过点D作DGEF于G，根据等边对等角可得MDE=MED，然后根据等角的余角相等求出AED=GED，再利用“角角边”证明ADE和GDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=GD，再根据切线的定义即可得证；（2）求出ME=MD=，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根据同角的余角相等求出1=3，然后求出AME和BEF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式计算即可得解；（3）假设MFE能是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得ME=EF，先利用“角角边”证明AME和BEF全等，根据全等三角形对边角相等可得AM=BE，设AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根据ME=MD，从而得到ME=AE，根据直角三角形斜边大于直角边可知MEF不可能是等腰直角三角形解答：（1）证明：过点D作DGEF于G，ME=MD，MDE=MED，EFME，DME+GED=90，DAB=90，MDE+AED=90，AED=GED，在ADE和GDE中，ADEGDE（AAS），AD=GD，的半径为DC，即AD的长度，EF是所在D的切线；（2）MA=时，ME=MD=2=，在RtAME中，AE=1，BE=ABAE=21=1，EFME，1+2=18090=90，B=90，2+3=90，1=3，又DAB=B=90，AMEBEF，=，即=，解得EF=，在RtMEF中，MF=；（3）假设MFE能是等腰直角三角形，则ME=EF，在AME和BEF中，AMEBEF（AAS），MA=BE，设AM=BE=x，则MD=ADMA=2x，AE=ABBE=2x，ME=MD，ME=2x，ME=AE，ME、AE分别是RtAME的斜边与直角边，MEAE，假设不成立，故MFE不能是等腰直角三角形5、（1）证明：连接OC， 1分因为点C在O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分PAE，所以3分所以 4分又因为点C在O上，OC为O的半径，所以CD为O的切线. 5分（2）解:过O作，垂足为F，所以，所以四边形OCDF为矩形，所以 7分因为DC+DA=6，设,则因为O的直径为10，所以，所以.在中，由勾股定理知即化简得，解得或x=9. 9分由，知，故. 10分从而AD=2， 11分因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以12分7、考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质分析：（1）连结OC，根据切线的性质得OCPC，则OCG+PCG=90，由EDAB得B+BGF=90，而B=OCG，所以PCG=BGF，根据对顶角相等得BGF=PGC，于是PGC=PCG，所以PC=PG；（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OGBC，BG=CG，易证得RtBOGRtBGF，则BG：BF=BO：BG，即BG2=BOBF，把BG用CG代换得到CG2=BOBF；（3）解：连结OE，OG=OG=，在RtOBG中，利用勾股定理计算出BG=2，再利用BG2=BOBF可计算出BF，从而得到OF=1，在RtOEF中，根据勾股定理计算出EF=2，由于ABED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4解答：（1）证明：连结OC，如图，PC为O的切线，OCPC，OCG+PCG=90，EDAB，B+BGF=90，OB=OC，B=OCG，PCG=BGF，而BGF=PGC，PGC=PCG，PC=PG；（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BOBF理由如下：连结OG，如图，点G是BC的中点，OGBC，BG=CG，OGB=90，OBG=GBF，RtBOGRtBGF，BG：BF=BO：BG，BG2=BOBF，CG2=BOBF；（3）解：连结OE，如图，由（2）得BGBC，OG=，在RtOBG中，OB=5，BG=2，由（2）得BG2=BOBF，BF=4，OF=1，在RtOEF中，EF=2，ABED，EF=DF，DE=2EF=4