2019-2020年高中第二册(下A)数学棱锥(I).doc

2019-2020年高中第二册(下A)数学棱锥(I)教学目标（一）教学知识点1.正棱锥中各元素之间的关系式.2.正棱锥的侧面积、全面积公式.3.棱锥体积公式的推导及计算.（二）能力训练要求1.使学生进一步熟练巩固正棱锥中各元素之间的关系.2.理解正棱锥的侧面积公式、棱锥的体积公式的推导过程.3.掌握正棱锥的侧面积、全面积公式及棱锥的体积公式.（三）德育渗透目标1.培养学生善于用联系的观点分析问题、解决问题的能力.2.培养学生“创造条件促成事物转化”的思想.3.让学生体会特殊到一般的认识规律.4.认识到祖原理是我国古代数学伟大的成就之一，从而激起学生的爱国热情，投身于积极的学习中.教学重点正棱锥的侧面积与棱锥的体积公式.教学难点体会“特殊到一般”的认识规律和“创造条件促成事物转化”的思想在推导棱锥体积会式过程中的应用.教学方法指导学生自学法通过自学，让学生真正理解正棱锥的侧面积可以将其侧面展开后推导得出的过程，而不是简单机械地死记硬背.通过阅读课本P54的材料，理解祖原理并以特殊的锥体三棱锥为典例，实现一般棱锥的体积公式推导过程.从而不仅仅使学生熟练掌握这一公式，更重要的是使学生体会其中的“由特殊到一般”的认识规律和“创造条件促成事物的转化”的思想的应用.教具准备多媒体课件一个先作一个三棱柱ABCABC.设SABC=S，高为h,则VABCABC=Sh.沿平面ABC和平面ABC,将这个三棱柱分割成三个三棱锥，分别记三棱锥AABC为几何体，三棱锥BABC(或BABC)为几何体，三棱锥CABC为几何体，观察可得几何体与的底面积相等，高也相等，几何体与也有相等的底面积和相等的高，因此根据祖原理得出这三个几何体体积相等，将这三个几何体合并后与原三棱柱的体积相等，故又得VAABC=VBABC=VCABC=Sh,即三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的.通过以上演示，让学生运用由特殊到一般的认识规律得出任意一个棱锥的体积公式.投影片三张.第一张：本课时教案练习（记作9.8.2 A)第二张：本课时教案例1（记作9.8.2 B)第三张：本课时教案例2（记作9.8.2 C)教学过程.课题导入师上节课我们一起研究了棱锥的定义、性质及正棱锥的性质和它的各元素之间的关系.下面练习一题.（打出投影片9.8.2 A,读题）已知正四棱锥的相邻两侧面的夹角为120，它的底面边长为a,求:（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长.分析：根据图形中的线面关系，把要求的元素转移到平面图形中，利用平面几何知识 求解.师大家根据分析的思路作出必要的辅助线去求解.（学生练习，教师巡视、指导同学板演）解：过点S作SO底面AC，SGBC，O、G为垂足，过点A作AESB，垂足为E，连结CE.SABSBC，CESB.AEC为侧面SAB与侧面SBC所成二面角的平面角.AEC=120，连结EO.AO=CO，AE=EC,AEO=60.RtBOG中，BG=a,OBG=45,BO=a.在RtAOE中，OE=a,AE=a,AE=EC=a,BE=a.CBE=SBG,SGB=CEB=90,RtSBGRtCBE,=.SG=EC=a=a.在RtSBG中，SB=a.在RtSOG中，SO=a.棱锥的斜高为a,高为a,侧棱长为a.师此题体现了“空间问题平面化”的思想，即将所求的各元素转化到平面图形中，进而应用平面几何中的性质、定理解决.一般地，在立体几何中，求线段的长度常常是将它转化到某个三角形中去，然后利用余弦定理、勾股定理、正弦定理及相似三角形等知识予以解决.今天，将要对正棱锥的侧面积、全面积及棱锥的体积进行深入学习.讲授新课师请大家在前面求正棱柱侧面积公式的基础上，试叙述如何去推导正棱锥的侧面积公式.（学生思考、推证）生可以将其侧面展开,得到的展开图的面积就是正棱锥的侧面积.师这就是“空间问题平面化”思想的又一次体现.请继续推理论证并说明具体操作过程.生正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，然后沿着一条侧棱剪开、铺平；得到正棱锥的侧面展开图.因每一个等腰三角形的面积等于正棱锥底面边长（a)和斜高（h)乘积的一半，所以得S正棱锥侧=nS三角形=n(ah)=(na)h=Ch(其中C为底面周长，n为侧面三角形个数）.（板书）师很好，由此可归纳出结论：如果正棱锥的底面周长为C,斜高为h,那么它的侧面积是S正棱锥侧=Ch.另外，正棱锥的全面积为S正棱锥全=S正棱锥侧+S正棱锥底.一起来体会一下这个公式的应用.（打出投影片9.8.2 B,读题）例1正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45角，求此棱锥的侧面积与全面积.分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.解：如图所示，设正三棱锥SABC的高为SO，斜高为SD，在RtSAO中，AO=SAcos45.AO=AD=a,SA=a.在RtSBD中SD=a,S侧=3aSD=a2.S底=a2,S全=（+）a2.师请大家翻开课本P48看棱锥的截面性质的推导过程，试思考：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截得的小棱锥与已知棱锥的侧面积比与它们对应高的比有什么关系？与它们的底面积之比的关系呢？为什么？生由P48的推导过程,可得在棱锥的各个侧面的三角形中，ABAB,BCBC,SABSAB,SBCSBC,则有=,=,.=.=.由此得如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与已知棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的比；截得的棱锥与已知棱锥的侧面积之比也等于它们的底面积之比. （板书）师至此，又得到一条关于棱锥的性质，在以后的计算过程中可以直接将其应用.接下来，再讨论棱锥的体积公式的由来.（打出多媒体课件，教师演示、解说，学生观察、思考）刚才是以特殊的三棱锥为典例演示的，那么我们可根据从特殊到一般得出：对于任意一个棱锥，设它的底面积为S，高为h,那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积，即任意棱锥的体积为V棱锥=Sh.一起体会一下这个公式在解题中的应用.（打出投影片9.8.2 C,读题）从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥ABCD的体积即可.解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积为Sh=Sh.三棱锥ABCD的体积为Sh-4Sh=Sh,正三棱锥ABCD的体积是正方体体积的.课堂练习假设正棱锥的底面边长为a,侧棱长为2a,求对角面的面积和侧面积.解：如图所示，在正四棱锥PABCD中，AB=a,PB=2a,作PO底面ABCD于点O.连结BD，则OBD,且POBC，由AB=a,得BD=a.在RtPAB中，PO2=PB2-BO2= （2a）2-(a)2.PO=a,S对角面=POBD=a2.又作PEBC于点E，这时E是BC的中点.PE2=PB2-BE2=（2a)2-(a)2.PE=a.S侧=4PEBC=a2.对角面面积为a2,侧面积为a2.课时小结通过本节学习，我们又一次体会到了“空间图形平面化”的思想在推导正棱锥侧面积中的运用，体会到了“由特殊到一般”的认识规律和“创造条件促成事物的转化”的思想在推导棱锥体积过程中的应用.要求大家不仅要在理解的基础上熟练记忆并应用这些公式，而且在以后的学习过程中，要尝试着将这些思想应用到其他问题的解决中.课后作业（一）课本P53 9、10.(二）1.预习内容（1）正棱锥直观图的画法.（2）动手做课本P51图9-78与图9-79的模型.（3）作课本P52图9-81的图形，并试着沿其中的虚线折叠，再适当对接，粘成五种正多面体.（4）阅读课本9.9节后的材料，了解为什么只有五种正多面体.2.预习提纲（1）画正棱锥直观图的基本步骤是什么.（2）多面体的概念及分类如何.（3）正多面体的概念及其种类如何.板书设计9.8 棱锥1.正棱锥的侧面积公式练习2.棱锥的一条性质3.棱锥的体积公式小结备课资料一、棱锥侧面积问题在学习中，要求学生掌握正棱锥的侧面积、全面积公式，并能运用这些公式进行计算，对一般棱锥的侧面积、全面积作简单了解与计算.下面，试举几例.例1侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长是a时，求该三棱锥的全面积.分析：利用正三棱锥的性质及其各元素间的关系求之.解：正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形，又都是直角三角形,正三棱锥的侧面是等腰直角三角形.其斜高是底面边长的一半.S棱锥侧=3a=.又S底面=a2,S正棱锥全=+=a2.例2已知正六棱锥的高是h,侧面和底面所成的二面角是，求此棱锥的全面积.分析：依正棱锥的性质及其各元素间的关系求得.解：如图，设底面中心是O，BC的中点是G，连结PO、PG、OG，则由正棱锥的定义及其性质可得PO底面AD，OGBC、PGBC.PGO为侧面与底面所成的二面角的平面角.PGO=.在RtPGO中，PG=,OG=hcot,在正OBC中，OG=BC,BC=OG=hcot.S正六棱锥侧=6BCPG=6hcot=2h2.S底面=6BC2=6（hcot)2=2h2cot2.S全=S侧+S底=2h2+2h2cot2=2h2+2h2=.例3棱锥的底面是等腰三角形，这个等腰三角形的底边长为12 cm,腰长为10 cm,棱锥的侧面与底面所成的二面角都为45,求这个棱锥的侧面积.已知：三棱锥SABC的底面是等腰三角形，AB=AC=10 cm,BC=12 cm,侧面SAB、SBC、SCA与底面ABC所成的二面角都是45.求三棱锥SABC的侧面积.解：作点S在底面ABC上的射影O，如图所示.O是底面ABC的内心，作OEAB于E点，连结SE，则SEAB.SEO是侧面与底面所成的二面角的平面角,即SEO=45.ABC内切圆的半径OE=3,(其中l= (AB+BC+AC),S是ABC的面积）斜高SE=OE=3.S侧=SE（AB+BC+CA）=48.SSABC侧=48cm2.评述：（1）求棱锥侧面积关键是求出各侧面三角形的高.（2）本题还可以用面积射影定理求VSABC的侧面积，由于棱锥的侧面与底面所成的二面角都为45,SSABC侧=48.二、棱锥有关元素的计算问题教学中，要求学生在熟练掌握棱锥性质的基础上，能灵活地解决与棱锥有关的所成角问题、距离问题，以及各种位置关系等与其他知识有关的综合问题.试举以下几例供参考.例4已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角大小是A. B.C. D.解析：如图所示，根据题意得AB=AC=BD=CD=，BC=AD=2，取BC的中点E，连结AE、DE.AEBC，DEBC.AED是所求二面角的平面角.AE=DE=，AD2=4.AE2+DE2=4.AED=.答案：C例5如图所示，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别是SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于A.90B.60C.45D.30解析：取SB的中点G，连结FG，FGSA.EFG是异面直线EF与SA所成的角.设棱长为a,连结AE，则AE=a,AF=,EF=a.又FG=EG=,EFG是等腰直角三角形.EFG=45.答案：C例6如图，三棱锥SABC，SA平面ABC，ABC是直角三角形，ACB=,ABC=,AC=1,SB=2.(1)求证：SCBC；(2)求直线SC和平面SAB所成的角；（3）求三棱锥SABC的表面积.（1）证明：SA平面ABC，在平面ABC内，BCAC，又由SC为ABC的斜线得SCBC（三垂线定理）.（2）解：SA平面ABC，SA平面SAB，平面SAB平面ABC，平面SAB平面ABC=AB.在平面ABC内，作CDAB于点D，CD平面SAB.连结SD，DSC是SC与平面SAB所成的角.在RtACB中，ACB=,ABC=,AC=1,AB=2,BC=.又CDAB于点D，CD=.在RtSAB中，SB=2，AB=2，SA=2.在RtSAC中，SA=2，AC=1，SC=3.在RtSCD中，sinDSC=,DSC=arcsin.直线SC与平面SAB所成的角为arcsin.(3)解：三棱锥的表面积S=SSAC+SSAB+SSBC+SABC=+2+=3+2.评述：以上各例是与棱锥有关的计算证明的综合问题，要使学生有条不紊地处理它，需在平时的学习中重视对这种题目的训练，要不断积累方法、经验，开阔解题思路，提高解题能力.