2019-2020年高中数学 第2章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问题同步练习 北师大版必修5.doc

2019-2020年高中数学 第2章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问题同步练习 北师大版必修5一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是()A10海里B10海里C5海里D5海里答案D解析如图，由正弦定理得，BC5.2学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，A30，则其跨度AB的长为()A12mB8mC3mD4m答案D解析在ABC中，已知可得BCAC4，C180302120所以由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos120424224448AB4(m)3如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A(3030)mB(3015)mC(1530)mD(1515)m答案A解析(1)由正弦定理可得，PB.hPBsin45sin45(3030)(m)4甲船在湖中B岛的正南A处，AB3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()A.kmB.kmC.kmD.km答案B解析由题意知AM82，BN123，MBABAM321，所以由余弦定理得MN2MB2BN22MBBNcos12019213()13，所以MNkm.5如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为() Aa(km)B.a(km)C.a(km)D2a(km)答案B解析在ABC中，ACB180(2040)120.AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a2()3a2，ABa(km)6在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为()A.米B.米C.米D.米答案A解析解法一：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB200，ADM30，ACB60，BC200tan30，AMDMtan30BCtan30.CDABAM.解法二：如图AB为山高，CD为塔高在ABC中，AC，在ACD中，CAD30，ADC120.由正弦定理.CD(米)二、填空题7一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是_ km.(精确到0.1 km)答案4.2解析作出示意图如图由题意知，AB246，ASB45，由正弦定理得，可得BS34.2(km)8(xx泰安市高三期中考试)如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为_答案50m解析因为ACB45，CAB105，所以ABC30，根据正弦定理可知：，即，解得AB50m.三、解答题9海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了10海里，求B船的速度解析如图所示，在ABC中，AB10，AC10，ABC120由余弦定理，得AC2BA2BC22BABCcos120即700100BC210BC，BC20，设B船速度为v，则有v15(海里/小时)即B船的速度为15海里/小时10在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1m)解析由题意画出示意图(AA表示小明的身高)AB200，CAB45，CBD60，在ABC中，BC200(1)在RtCDB中，CDBCsin60100(3)，CD1.8100(3)475(米)答：红灯笼高约475米.一、选择题1一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20()海里/时B20()海里/时C20()海里/时D20()海里/时答案B解析设货轮航行30分钟后到达N处，由题意可知NMS45，MNS105，则MSN1801054530.而MS20，在MNS中，由正弦定理得，MN10()货轮的速度为10()20()(海里/时)2如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000米到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为()A500mB200mC1000mD1000m答案D解析SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1 000，BCABsin451 0001 000(m)3一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时()A5n mlieB5n mlieC10n mlieD10n mlie答案C解析如图，依题意有BAC60，BAD75，CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10(n mlie/h)4要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是()A100米B400米C200米D500米答案D解析由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得3h2h25002h500，解之得h500(米)二、填空题5某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60和45，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30角，则该转播塔的高度是_米答案解析如图所示，由题意，得ABC453015，DAC603030.BAC150，ACB15，ACAB40米，ADC120，ACD30，在ACD中，由正弦定理，得CDAC40.6如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南30的方向上，仰角为15，则此山的高度CD等于_km.答案5(2)解析在ABC中，A15，C301515，所以BCAB5.又CDBCtanDBC5tan155tan(4530)5(2)三、解答题7在大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B处现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近解析如下图，设经过t小时，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD.则根据题意，知在ABC中，AC8t，AD2010t，CAD60.由余弦定理，知CD2AC2AD22ACADcos60(8t)2(2010t)228t(2010t)cos60244t2560t400244(t)2400244()2，当t时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近8某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解析由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B处，在ABC中，AC31，BC20，AB21.由余弦定理得cosC，则sinC，所以sinMACsin(120C)sin120cosCcos120sinC.在MAC中，由正弦定理得MC35，从而MBMCBC15.即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站