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2.2.2 双曲线的简单几何性质,高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程,1,教学目标：,1.通过方程，研究双曲线的性质，理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念； 2.根据条件，求出表示曲线的方程； 3.掌握直线与双曲线的位置关系,2,复习回顾：双曲线的标准方程:,形式一： （焦点在x轴上，（-c，0）、 （c，0）,形式二： （焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c） 其中,双曲线的图象特点与几何性质是怎样的？,现在就用方程来探究一下!,类似于椭圆几何性质的研究.,3,2、对称性,一、研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都对称.,x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),(下一页)顶点,4,3、顶点,（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点,(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.,(下一页)渐近线,5,4、渐近线,利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图,(2),渐近线对双曲线的开口的影响,(3),动画演示点在双曲线上情况,双曲线上的点与这两直线位置有什么关系呢?,(动画演示情况),(下一页)离心率,如何记忆双曲线的渐近线方程？,6,5、离心率,e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大,(动画演示),ca0,e 1,（4）等轴双曲线的离心率e= ?,7,小 结,或,或,关于坐标 轴和 原点 都对 称,8,1、练习,|x|,6,18,|x|3,(3,0),y=3x,4,4,|y|2,(0,2),10,14,|y|5,(0,5),9,第2课时,10,例1: 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,11,例2:,思考:一个双曲线的渐近线的方程为: ,它的离心率为 .,解：,12,练习,的渐近线方程为:,的渐近线方程为：,的渐近线方程为：,的渐近线方程为：,你发现了什么？,求双曲线的渐近线方程方法：定义法和方程法,13,14,15,16,17,18,19,P54，A 3,4,B,1,小结： 本节课讨论了双曲线的简单几何性质：范围，对称性，顶点，离心率，渐近线，请同学们熟练掌握。,作业,20,椭圆与双曲线的性质比较,小 结,21,|x|a,|y|b,|x| a，yR,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b,(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b,无,22,谢谢光临！,23,共轭双曲线定义： 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线, 则 (1)双曲线 的共轭双曲线方程 即把双曲线方程中的常数项1改为-1就得到了它的共轭双曲线方程。 (2)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 反之不成立。,24,证明:(1)设已知双曲线的方程是:,则它的共轭双曲线方程是:,渐近线为：,渐近线为:,可化为：,故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线,(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0),它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c),c=c,所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆,问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？,25,证明:(1)设已知双曲线的方程是:,则它的共轭双曲线方程是:,渐近线为：,渐近线为:,可化为：,故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线,(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0),它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c),c=c,所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆,问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？,26,
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