2019-2020年高考数学一轮总复习 9.2 双曲线教案 理 新人教A版.doc

2019-2020年高考数学一轮总复习 9.2 双曲线教案 理 新人教A版典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x4)2y22外切，与圆B：(x4)2y22内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|r，|BE|r，所以|AE|BE|2，又A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,2|AB|.根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.因为a，c4，所以b2c2a214，故点E的轨迹方程是1(x).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线1的右支上一点，M，N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设P(x，y)，则由0，得APPQ，则P在以AQ为直径的圆上，即 (x)2y2()2，又P在双曲线上，得1，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，当xa时，P与A重合，不符合题意，舍去；当x时，满足题意的点P存在，需xa，化简得a22b2，即3a22c2，所以离心率的取值范围是(1，).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A.k2e21B.k2e21C.e2k21D.e2k21【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足k，即k2e21，故选C.题型三有关双曲线的综合问题【例3】(xx广东模拟)已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由题意知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x).方法一：联立解得交点坐标为x，y，即x1，y1，则x0，|x|.而点P(x1，y1)在双曲线y21上，所以y1.将代入上式，整理得所求轨迹E的方程为y21，x0且x.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，得y2(x22).又点P(x1，y1)在双曲线上，因此y1，即y1.代入式整理得y21.因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(，0)的直线l的方程为xy0.解方程组得x，y0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，1).综上分析，轨迹E的方程为y21，x0且x.(2)设过点H(0，h)的直线为ykxh(h1)，联立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1，k2.由于l1l2，则k1k21，故h.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由()1，得h.此时，l1，l2的方程分别为yx与yx，它们与轨迹E分别仅有一个交点(，)与(，).所以，符合条件的h的值为或.【变式训练3】双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()A.12B.32C.42D.52【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.据题意设|AF1|x，则|AB|x，|BF1|x.由双曲线定义有|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)(1)xx4a，即x2a|AF1|.故在RtAF1F2中可求得|AF2|.又由定义可得|AF2|AF1|2a2a2a，即22a，两边平方整理得c2a2(52)e252，故选D.总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线yx，可将双曲线方程设为(0)，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法.