2019-2020年高考数学一轮复习几何证明选讲2直线与圆的位置关系课时提升作业理选修.doc

2019-2020年高考数学一轮复习几何证明选讲2直线与圆的位置关系课时提升作业理选修1.(xx开封模拟)如图,AB是O的直径,弦CA,BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F,连接FD.求证:(1)DEA=DFA.(2)AB2=BEBD-AEAC.【证明】(1)连接AD,因为AB为圆的直径,所以ADB=90,又EFAB,AFE=90,则A,D,E,F四点共圆,所以DEA=DFA.(2)连接BC.由(1)知ADBEFB,所以=,即BDBE=BABF,又ABCAEF,所以=,即ABAF=AEAC,所以BEBD-AEAC=BABF-ABAF=AB(BF-AF)=AB2.【加固训练】(xx广东高考改编)如图,AB为圆O的直径,点E为AB的延长线上一点,过点E作圆O的切线,切点为点C,过点A作直线EC的垂线,垂足为点D.若AB=4,CE=2,求AD的长度.【解析】连接C,则CDE,因为ADDE,所以CAD,所以=,由切割线定理得:CE2=BEAE,所以BE=12,即BE2+4BE-12=0,解得: BE=2或BE=-6(舍去),所以AD=3.2.(xx安阳模拟)如图,直线PQ与O相切于点A,AB是O的弦,PAB的平分线AC交O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q,若AQ=6,AC=5.(1)求证:QC2-QA2=BCQC.(2)求弦AB的长.【解析】(1)因为PQ与O相切于点A,由切割线定理得:QA2=QBQC=(QC-BC)QC,所以QC2-QA2=BCQC.(2)由(1)可知,QA2=QBQC=(QC-BC)QC.因为PQ与O相切于点A,所以PAC=CBA,因为PAC=BAC,所以BAC=CBA.所以AC=BC=5,又知AQ=6,所以QC=9.由QAB=ACQ知QABQCA,所以=,所以AB=.3.(xx临汾模拟)如图,CF是ABC边AB上的高,FPBC,FQAC.(1)证明:A,B,P,Q四点共圆.(2)若CQ=4,AQ=1,PF=,求CB的长.【解析】(1)连接QP,由已知C,P,F,Q四点共圆,所以QCF=QPF.因为A+QCF=CPQ+QPF=90,所以A=CPQ.则四点A,B,P,Q共圆.(2)CF2=CQCA=45=20,在RtCPF中,CP=,又CPCB=CF2,所以CB=6.【加固训练】(xx遵义模拟)如图,在正ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F,连接DE.(1)求证:A,E,F,D四点共圆.(2)若正ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.【解析】(1)因为AE=AB,所以BE=AB.因为在正ABC中,AD=AC,所以AD=BE.又因为AB=BC,BAD=CBE,所以BADCBE,所以ADB=BEC.即ADF+AEF=,所以A,E,F,D四点共圆.(2)如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.因为AE=AB,所以AG=GE=AB=.因为AD=AC=,DAE=60,所以AGD为正三角形,所以GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=.所以点G是AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.4.(xx保定模拟)如图所示,已知O1与O2相交于A,B两点,过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1,O2于点D,E,DE与AC相交于点P.(1)求证:ADEC.(2)若AD是O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.【解析】(1)连接AB,因为AC是O1的切线,所以BAC=D,又因为BAC=E,所以D=E,所以ADEC.(2)因为PA是O1的切线,PD是O1的割线,所以PA2=PBPD,所以62=PB(PB+9),所以PB=3,在O2中由相交弦定理,得PAPC=BPPE,所以PE=4.因为AD是O2的切线,DE是O2的割线,所以AD2=DBDE=916,所以AD=12.【加固训练】如图,AB是圆O的直径,且AB=6,CD是弦,BA,CD的延长线交于点P,PA=4,PD=5,求COD的大小.【解析】由割线定理得,PAPB=PCPD,因为PA=4,PD=5,所以410=5PC,所以PC=8,所以CD=8-5=3,所以CDO是等边三角形,所以COD=60.5.(xx郑州模拟)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.求证:(1)BE=EC.(2)ADDE=2PB2.【解析】(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,故PAD=PDA.因为PDA=DAC+DCA,PAD=BAD+PAB,DCA=PAB,所以DAC=BAD,从而=.因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PBPC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得ADDE=BDDC,所以ADDE=2PB2.6.如图,点A是以线段BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,连接AF并延长与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF.(2)求证:PA是O的切线.【证明】(1)因为BE是O的切线,所以EBBC.又因为ADBC,所以ADBE.可知BFCDGC,FECGAC,所以=,=,所以=.又因为G是AD的中点,所以DG=AG,所以BF=EF.(2)如图,连接AO,AB.因为BC是O的直径,所以BAC=90.在RtBAE中,由(1)得知F是斜边BE的中点,所以AF=FB=EF.所以FBA=FAB.又因为OA=OB,所以ABO=BAO.因为BE是O的切线,所以EBO=90.所以EBO=FBA+ABO=FAB+BAO=FAO=90,所以PA是O的切线.【加固训练】1.(xx郑州模拟)如图,已知圆O是ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.(1)求证:ACBC=ADAE.(2)若AF=2,CF=2,求AE的长.【解析】(1)连接BE,由题意知ABE为直角三角形.因为ABE=ADC=90,AEB=ACB,ABEADC,所以=,即ABAC=ADAE,又AB=BC,所以ACBC=ADAE.(2)因为FC是圆O的切线,所以FC2=FAFB,又AF=2,CF=2,所以BF=4,AB=BF-AF=2,因为ACF=FBC,又CFB=AFC,所以AFCCFB,所以=,得AC=,所以ABC为等腰三角形,过B作BHAC于点H,则cosACD=,所以sinACD=sinAEB,所以AE=.2.(xx邢台模拟)如图,ABO三边上的点C,D,E都在O上,已知ABDE,AC=CB.(1)求证:直线AB是O的切线.(2)若AD=2,且tanACD=,求O的半径r的长.【解析】(1)如图所示,连接OC.因为ABDE,所以=.因为OD=OE,所以OA=OB.因为AC=CB,所以OCAB,所以直线AB是O的切线.(2)延长AO交O于点F,连接CF.由(1)可得ACD=F.因为tanACD=,所以tanF=.因为ACDAFC,所以=,而AD=2,所以AC=4.由切割线定理可得:AC2=AD(AD+2r),所以42=2(2+2r),解得r=3.3.如图,直线AB为圆的切线,切点为点B,点C在圆上,ABC的平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC.(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.【解析】(1)连接DE交BC于点G.由弦切角定理得ABE=BCE,而ABE=CBE,故CBE=BCE,BE=CE.又因为DBBE,所以DE为直径,DCE=90,由勾股定理得DB=DC.(2)由(1)知,CDE=BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连接BO,则BOG=60,从而ABE=BCE=CBE=30,所以CFBF,故RtBCF的外接圆的半径等于.