2019-2020年高考数学一轮总复习第7章立体几何7.7立体几何中的向量方法模拟演练理.DOC

2019-2020年高考数学一轮总复习第7章立体几何7.7立体几何中的向量方法模拟演练理1若平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案C解析由(1,2,0)(2，1,0)122(1)000，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直2xx宜宾模拟已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相平行，则k的值是()A2 B. C. D.答案A解析由题意得，kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)所以，解得k2.3xx金华模拟在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2 C3 D1答案B解析由已知平面OAB的一条斜线的方向向量(1，3,2)，所以点P到平面OAB的距离d|cos，n|2.4在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A. B. C. D.答案C解析以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由ABAC1，PA2，得A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，0,0，E，0，F，(0,0，2)，.设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2,0,1)，设PA与平面DEF所成的角为，则sin，PA与平面DEF所成角的正弦值为.5已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC1，CB，侧棱AA11，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，则平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为()A B C. D.答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(，0,0)，A(0,1,0)，B1(，0,1)，D，(，0,0)，(，1,0)，(0,0,1)设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1，n2，可得n1(0,1，1)，n2(1，0)，所以cosn1，n2，又平面B1BD与平面CBD所成的二面角的平面角与n1，n2互补，故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为.6.如图，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD11，则AF与CE所成角的余弦值为_答案解析AEEDAD11，AEED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设ABEFCD2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0，2,1)，(1,2,0)，(0,2,1)，cos，AF与CE所成角的余弦值为.7.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_答案解析以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2，0,0)，C1(0,0,2)点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以(2,0,2)，2，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，则cos.又，所以.8已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件得A(1,0,0)，E，F，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的锐二面角为，由图知为锐角，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)，平面ABC的法向量为m(0,0，1)，cos|cosn，m|，tan.9.如图，在直二面角EABC中，四边形ABEF是矩形，AB2，AF2，ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF3.(1)证明：FB平面PAC；(2)求异面直线PC与AB所成的角的余弦值解(1)证明：以A为原点，向量，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，F(0,0,2)BF4，PF3，P，(2,0，2)，(0,2,0)，.0，FBAC.0，FBAP.FBAC，FBAP，ACAPA，FB平面APC.(2)(2,0,0)，记与夹角为，则|cos|.10如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0，3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin|cosn，|，即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.B级知能提升(时间：20分钟)11一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，则该四面体的体积为()A. B. C1 D2答案A解析如图所示，该四面体是棱长均为的正四面体ABCD.设BCD的中心为O，则AO平面BCD，AO即为该四面体的高在RtAOB中，AB，BOBE，所以AO.底面积SBCD()2，故其体积为.12xx西宁模拟如图所示的三棱锥PABC中，D是棱PB的中点，已知PABC2，AB4，CBAB，PA平面ABC，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为()A BC. D.答案D解析因为PA平面ABC，所以PAAB，PABC.过点A作AECB，又CBAB，则AP，AB，AE两两垂直如图所示，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(4,0,0)，C(4，2,0)因为D为PB的中点，所以D(2,0,1)故(4,2,2)，(2,0,1)所以cos，.设异面直线PC，AD所成的角为，则cos|cos，|.13已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB1，AA12，点E为CC1的中点，则点D1到平面BDE的距离为.答案解析如图所示，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，E(0,1,1)，所以(1,1,0)，(0,1,1)，(1，1,2)设n(x，y，z)是平面BDE的法向量，所以n，n，所以即令x1，则所以平面BDE的一个法向量为n(1，1，1)，则点D1到平面BDE的距离d.故填.14.xx山东高考在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC.求二面角FBCA的余弦值解(1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)，所以B(2，2，0)，过点F作FM垂直OB于点M.所以FM3，可得F(0，3)故(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量m.因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角FBCA的余弦值为.