2019-2020年高二数学平面的基本性质以及平行直线和异面直线.doc

2019-2020年高二数学平面的基本性质以及平行直线和异面直线一、教学重点和难点：1.认真体会平面是无限延展的，它无大小之分，仅有位置上的区别；2.三个公理及三个推论在运用上的各自分工；3.正确理解异面直线的概念，并能够利用平移法作出异面直线所成的角；4.难点是养成良好的空间作图习惯和思维方法，特别是集合符号的合理利用。二、知识精讲：1.平面的概念：(1)平面是一个只描述不定义的基本概念。具体的例如：桌面、黑板面、平静的水面，我们可以认识到“平面”是绝对平坦，没有厚度，没有边界无限延展的一个理想的几何图形。(2)记为：，平面ABCD或平面AC。(3)画多个平面时，一个平面被另一个平面遮住的线段要画成虚线或不画。(4)图形语言为：2. (1)公理1：图形语言符号语言：(2)公理2：图形语言符号语言：(3) 公理3：图形语言 符号语言：A、B、C不共线存在唯一平面使得3.推论：（推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面）已知：直线a、b且 求证：过a、b有且只有一个平面证法一：存在性在直线a、b上分别取不同于点P的点A、B，则点A、B、P是不共线的三点（否则与a、b是两条相交直线矛盾）根据公理3，过A、B、P三点有一个平面，即同理，因此过直线a、b有平面唯一性经过直线a、b的平面一定经过点A、B、P，根据公理3，经过不共线的三点A、B、P的平面只有一个，经过a、b的平面只有一个由、，可知经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面已知：直线a、b且a/b求证：经过a、b有且只有一个平面证明：存在性a/b，由平行线的定义，a、b在同一平面内，过直线a、b有一个平面唯一性在直线b上任取一点B，则（否则与a/b矛盾），且B、a在过a、b的平面内又由推论1，过点B和直线a的平面只有一个，过直线a、b的平面只有一个由、，可知经过两条平行直线的平面有且只有一个4.空间两直线的位置关系：名称含义符号表示图示相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一个平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点且(2)两条异面直线所成的角5.集合符号的利用：点A在平面内，记作，否则点A在直线l上，记作，否则直线l在平面内，记作，否则直线l1与l2相交于A点，记作三、典型范例1.平面的概念：例1.判断下列说法是否正确？并说明理由：(1)平等四边形是一个平面(2)任何一个平面图形都是一个平面(3)在空间图形中，原图中的线都要画成实线，后补画的线都画成虚线(4)用平行四边形表示的平面，以四边为边界解：(1)不正确，平面是无限延展的，而平行四边形是有限的，它只是平面的一部分(2)不正确，平面图形和平面是完全不同的概念，平面图形有的（如角）也可以无限延展，但不可能向四周无限延展(3)不正确，空间图形中把被平面遮住的线段画成虚线（无论原先有的还是后来画的辅助线）(4)不正确，平面是没有边界的2.共点、共线、共面问题：例2.四条直线两两相交且任何三条都不交于一点，则这四条直线共面分析：说明四条直线共面，必须先找到一个平面，再想办法说明这四条直线都在这个平面内已知：如图a、b、c、d两两相交且任何三条不交于一点，求证：a、b、c、d共面证法一：，确定一个平面（推论2），即（公理1）同理共面点拨：证明直线（或点）共面，一般先由其中的一部分或点确定一个平面，再由公理1，公理3及其推论证明其余的直线或点也在这个平面内例3.已知:四边形ABCD，AB/CD，直线AB、BC、CD、DA交平面于E、G、F、H，求证：E、F、G、H四点共线证明：如图916AB/CD，AB、CD确定平面E、F、G、H分别在直线AB、CD、BC、AD上，E、F、G、H都在内图916又E、F、G、H都在内，不是同一个平面且有交点，有且只有一条交线l，即E、F、G、H，即E、F、G、H共线点拨：公里2中两个平面的交线是由这两个平面中所有公共点组成的集合，因此公理2往往用来证明多点共线问题，也常常用来证明像下例中的多线共点问题例4.如图917，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC、CD上的点，且直线EF和GH交于一点，求证：EF、BD、GH交于一点证明：设EF，GH交于一点P，直线EF，则平面ABD直线GH，则平面CBD图917平面平面CBD=直线BDEF、GH、BD三线共点P例5.如图918，在棱长为的正方体中，M、N分别为的中点，过D、M、N的平面a与正方体的下底面相交于直线l(1)画出直线l；(2)画出a与正方体的各面的交线；(3)设，求的长图918解：(1)a与平面的交线为DM，DM与的交点为Q，则平面，连结QN，则QN即为l(2)设，连结MP，再连结DNa与正方体的四个面相交，交线为DM、MP、PN、ND(3)由M是中点得是中点3.两条异面直线的证明，所成角的问题：例6.已知且且c/a，求证：b、c是异面直线分析：b与c的位置关系只有三种，假设b、c不是异面直线即是相交的或平行的，势必会推出已知或事实相矛盾的结果从而可证明b、c是异面的证明：假设b、c不异面即b/c或(1)若b/c，又因为c/a，a/b与矛盾(2)若，又因为则a与c相交与c/a矛盾综上得b、c是异面直线点拨：证明两条直线是异面直线的常用方法有(1)直接法：根据异面直线的定义或根据教材P14例3的结论来证明；(2)反证法：更为常用，因为书写简明，条理性强例7.如图925，在正方体中，E、F分别是棱的中点，求EF与所成角的大小分析：把EF平移到，再平移到AC，则所求角与有关，求出角，即可得EF与所成角解：连结和AC，图925由定义所求角与有关连结得正三角形，即EF与AD1所成角为60点拨：求两条异面直线所成角的一般步骤为“作（或找）角求角”，具体为用平移法找或作出角. 认定此角（或其补角）即为所要求的角解三角形求角例8.已知空间四边形ABCD中，各边长均为a，且对角线ADBC=a，如图926，E、F分别为AD、BC的中点，连结AF、CE求异面直线AF与CE所成角解：连结FD，取FD的中点O，连结EO，OC，E、O分别为AD、FD的中点，EO/AF，则或其补角即为所求的角在CEO中，图926， AF与CE所成角为 点拨：由于作角的关键是平移直线，而移法可能不同，有时移一条，有时要移两条，因此作出的角的位置也不尽相同，有时所求角是作出的角的补角，因此求异面直线所成角的具体做法较多四、课后巩固训练：选择题：1.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它与另一条直线的位置关系是（）A.平行或异面B.平行或相交C.相交或异面D.互相垂直2.异面直线a、b分别在平面和内，且，那么直线c一定（）A.与a、b都相交 B.只能与a、b中的一条相交C.至少与a、b中的一条相交 D.与a、b都不相交3.下面有四个命题若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行；若两条直线都和另一条直线相交且垂直，则这两条直线互相平行；若两条直线都和另一条直线没有公共点，则这两条直线平行；若两条直线和另一条直线相交所成的角相等，则这两条直线互相平行，其中正确的命题的个数为（）A.0B.1C.2D.34.在正方体中与成45角的棱有A.2条B.3条C.6条D.8条5.“”是“”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）A.异面直线B.相交直线C.不相交直线D.不平行直线7.对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：(1)与a是异面直线；(2)与a所成的角为定值；(3)与a的距离为定值d，那么这样的直线b有（）A.1条B.2条C.3条D.无数条8.如图9219，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于（）图9219A.B.C.D.填空题：9.已知异面直线a、b所成的角是80，P为空间一定点，则过P且与a、b所成角都是50的直线有_条10.在空间四边形ABCD中，对角线ACBD2a，M、N分别是边AB、CD的中点，若，则AC与BD所成角为_，MN与AC所成角为_11.在空间四边形ABCD中，ABCD8，M、N分别是边BD、AC的中点，若异面直线AB与CD成角为60，则MN的长为_12.下列四个命题：垂直于同一条直线的两条直线平行；一条直线垂直于两条平行线中的一条，也垂直于另一条；经过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直；已知，若，则其中正确命题的序号为_解答题：13.如图9221，空间四边形ABCD中，四条边AB、BC、CD、DA及对角线AC、BD均相等，E为AD的中点，求AB与CE所成的角图922114.如图9223的长方体中，AB=BC=2a，AA1=a，E、F分别为A1B1和BB1的中点求：(1)EF和AD1所成的角；(2)A1D1和B1C1间距离；(3)AC1与B1C所成的角图922315.如图9224在空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，延长BC到E使CE=BC，F为BD中点，求：异面直线AF与DE的距离和所成角图9224参考答案选择题：1.C 2.C 3.A 4.D 5.D 6.D 7.D 8.B填空题：9. 3 10. 90，45 11.4或12.解答题：13.简解：取BD中点F，连EF、CF，求得14.(1)连结D1C，AC，则D1C/EF在AD1C中，解得故所求角为(2)A1D1与B1C1距离为2a(3)延长BC至M，使BC=CM，连结C1M，AM，在AC1M中由余弦定理得故所求角为的补角，值为15.连结FC，则FC/DE，. . 在AFC中，又，AF与DE的成角为60，DF是AF与DE公垂线段AF与DE距离为1