2019-2020年高二数学 9.4直线和平面垂直(第一课时)大纲人教版.doc

2019-2020年高二数学 9.4直线和平面垂直(第一课时)大纲人教版课时安排4课时从容说课本节通过学习直线与平面垂直的判定定理以及“两平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面”即线线平行的性质定理，为判定直线与平面垂直的位置关系提供了理论依据；直线与平面垂直的性质定理是判定线线平行的有效方法；在直线与平面垂直的判定定理和性质定理的基础上，学习点面距离及线面距离，让学生进一步体会到等价转化思想在立体几何中的应用；三垂线定理及其逆定理不仅可以证明空间两直线垂直，将空间两直线垂直问题转化为平面上两直线垂直的问题 ，还可以解决直线与平面所成角、点线距离及点面距离等问题.学生学习的重点是直线与平面垂直的判定定理与性质定理以及直线与平面垂直的判定定理与性质定理的应用、射影定理及其应用、三垂线定理与其逆定理以及三垂线定理与其逆定理的应用;难点是以上定理与其逆定理的证明及应用.教学中应强调直线与平面垂直的判定定理中的条件“平面内的两条相交直线”是关键；强调直线与平面垂直的性质定理证明中反证法的学习，应让学生清楚，对于一些条件简单而结论复杂的问题或正面较难证明的问题，可考虑用反证法；强调射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线及垂线段必须是由平面外同一点向平面所引而得到的，否则结论不成立；强调三垂线定理中“平面内”的重要性，并结合教具或学生准备的三根木棍加深知识复杂的直线垂直关系.教学中要引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决，线面垂直问题转化为线线垂直问题来解决，线面距离转化为点面距离来解决，这种转化的数学思想方法在立体几何的证明和解题中体现的尤为明显.课题9.4.1 直线与平面垂直的判定和性质（一）教学目标(一)教学知识点1.直线和平面垂直的定义.2.直线和平面垂直的判定定理.(二)能力训练要求1.利用等价转化的思想证明立体几何问题.2.提高学生的逻辑思维能力.3.培养学生由图形想象出位置关系的能力.（三）德育渗透目标1.利用所学知识解释生活现象,激发学生学习数学的积极性,能辩证地看待问题.2.学会分析事物之间的关系,进而选择解决问题的途径.教学重点直线和平面垂直的判定.教学难点判定定理的证明.教学方法诱思教学法启发诱导学生正确认识：“任意一条直线”,“一个平面内的两条相交直线”,正确寻求判定定理的证明思路,清楚直线、平面满足何种条件就具有垂直关系.教具准备投影片三张.第一张：（记作9.4.1 A）第二张：（记作9.4.1 B）第三张：（记作9.4.1 C）教学过程.复习回顾师直线和平面平行的判定方法有几种？生可利用定义判断,也可依判定定理判断.讲授新课1.直线和平面垂直的定义师该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形,请同学们思考,随着时间的变化,影子在移动,这是变的一面,那么不变的一面是什么呢？(讨论、观察片刻,提醒学生从位置关系去分析,教师可用手电筒照射一杆,让学生得出结论进而提醒学生观察图925)生由图形可知旗杆与地面内任意一条过点B的直线垂直.（若先回答射影,可引导其抽象为直线）师进一步提出：那么旗杆所在的线与平面内不经过B点的线的位置关系如何呢？依据是什么？生垂直.依据是异面直线垂直的定义.生在师的诱导下,尝试着给出直线和平面垂直的定义:如果一条直线l和平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l和平面互相垂直.可记作l.其中直线l叫平面的垂线.平面叫直线l的垂面.师“任意一条直线”,说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线,必须是全部.同学们可找一反例说明.生当一条直线和一平面内一组平行线垂直时,该直线不一定和平面垂直.（可将教材中每一行字看成平行线,当钢笔与其垂直时,钢笔不一定就与教材所在的面垂直）师若l或l,则l此时不会和内任意一条直线垂直,由此,当l与具有l的关系时,直线l一定和相交.直线和平面垂直时,它们有唯一的公共点,即交点,叫垂足.师进一步给出直线与平面垂直时,其直观图的画法.（师生共同规范地画出直线与平面的垂直关系）画直线与水平平面垂直时,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.l,点P是垂足.让学生观察投影片中所给的四个图形,能得出什么结论.（打出投影片9.4.1 A）经师诱导,生得到结论.生图（1）、（2）说明经过空间一点P作的垂线只有一条;图（3）、（4）说明,经过空间一点P作l的垂面只有一个.除定义外,直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？2.直线和平面垂直的判定例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.已知：ab,a.求证：b.分析：（利用投影片9.4.1 B）要证b,需证b与内任意一条直线m垂直.运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m,则需依题意设直线m存在.进而运用线垂直于面线垂直于面内的线完成证明.学生依图及分析写出证明过程.证明：设m是内的任意一条直线.(可直接利用此结论判定直线和平面垂直)给出判定定理,学生思考其证明途径.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.已知：m,n,mn=B,lm,ln.求证：l.(给出投影片9.4.1 C)分析：此定理要证明,需得到l的关系.而由定义知只要能设法证明l垂直于内任一条直线即可,不妨设此线为g,则证lg即可.证明lg较困难,同学可考虑线段垂直平分线的性质.学生先想想,如何先确定线的位置.由于已知条件中有mn=B,所以可先从l、g都通过点B的情况证起,然后再推广到其他情形,也可看成是分类讨论思想的渗透.学生可先表述证明过程,然后共同整理.证明：设g是平面内任一直线.（1）当l、g都通过点B时,在l上点B的两侧分别取点A、,使AB=B,则由已知条件推出m、n都是线段A的垂直平分线.1g与m（或n）重合,那么依lm（或ln）可推出lg;2g与m（或n）不重合,那么在内任作一直线CD,mCD=C,nCD=D,gCD=E.连结AC、C、AD、D、AE、E.AC=C,AD=D,CD= D,ACDCD,得ACE=CE,即ACECE.那么AE=E.g是A的垂直平分线,于是lg.（2）当l、g不都通过点B时,过点B作、g,使l,g.同理可证g,因而lg.综上所述,无论l、g是否通过点B,总有lg.由于g是平面内任一直线,因而得l.(l、g不都通过点B,可解释为：l、g之一过点B,l、g都不过点B)师对于判定定理应注意两点.一是判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线”是关键性词语,一定要记准、用对;二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则是无关紧要的.课堂练习 P231.判断题(1)ll与相交.(2)m,n,lm,lnl.(3)lm,mn,ln.解：（1） 若不相交,则应有l或l.(2) m、n若是两条平行直线,则命题结论不一定正确.(3) 由命题结论可推得. 2.已知三条共点直线两两垂直,求证：其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.已知：m、l确定平面,mn,ln,ml=O.求证：n.证明：.3.求证：平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中,垂直于平面的线段最短.(连结平面内的两点Q和R,设PQ,则PQR=90.在RtPQR中,PQPR).课时小结1.定义中的“任何一条直线”这一词语,它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.3.注意两个结论：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.4.判定直线和平面是否垂直,本节课给出了三种方法：（1）定义法 强调“任何一条直线”；（2）例1的结论 符合“两条平行线中一条垂直于平面”的特征；（3）判定定理 必须是“两条相交直线”.课后作业（一）P28 17.1.填空（1）l,ml m;（2）m,n,m与n ,lm,lnl；（3）lm,lm .解：（1）(用定义来判定直线和平面垂直较困难,但在直线和平面垂直时,却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直,给判定两条直线垂直带来方便,如该题,即“线面垂直,线线垂直”,在以后的立体几何问题解决中,会经常使用该方法,应引起重视.)（2）相交(判定定理中的两条相交线不能任意改变,若换成m与n平行,则不能推得直线和平面垂直.例如,黑板上、下两边是平行的,使一枝铅笔垂直于其中的一条直线,那么铅笔也垂直于与之平行的另一边所在的直线,但铅笔和黑板不一定垂直)（3）1.已知：lm,l,求证：m.分析：这是例1给出的命题,下面从判定定理和定义两个角度,再给出证明.依线面垂直的判定定理,要证明m,需在平面内寻找到两条相交线,使这两条相交线都与m垂直.证法一：在平面内作两条相交直线a、b.l,la,lb.又lm,ma,mb.m.这是课本中的例题,证明的思路是应用判定定理.其实也可以直接根据定义来证明,只要证明m与内任一直线g垂直就可以了.证法二：设g为内任一直线,l,lg.又ml,mg.m.注意该结论在以后问题解决中的运用.2.已知l,m.求证：lm.证明：如图,内任意一点P与直线l确定一平面,且=l.l,ll.又m,则ml,那么ml.3.如图,在RtABC中,D是斜边AB的中点,AC=6 cm,BC=8 cm,EC面ABC,EC=12 cm,求EA、EB、ED.解：ABC是直角三角形,AC=6 cm,BC=8 cm,AB=10 (cm).因EC面ABC,AC、CD、CB三线段都在面ABC内,故ECAC,ECCD,ECCB.那么由EC=12 cm,可知AE=（cm),EB= (cm),ED=13 (cm).(这类题是从浅层次上给出的空间问题,最终都回到平面中来解决,即空间问题的解决靠转化为平面问题来完成)4.将三角形硬纸板沿它的一边BC上的高AD折成一个角度,然后将它立在桌面上,使点B、C、D落在桌面上,这时直线AD与桌面有什么关系？为什么？解：直线AD与桌面垂直.这是因为ADBD,ADCD,BDDC=D,AD面BCD.(这是一个简单的折叠问题,应引起重视.折叠前是平面图形ABC;折叠后是空间图形ABDC.只需分析折叠前后线与线的关系即可)5.如图AB=5 cm,BCAB,BDAB,在BC、BD所在的平面内有一点E,BE=7 cm.求：（1）EB和AB、CD和AB成多少度角？（2）AE的长是多少？解：（1）BC,BD,BCBD=B,ABBC,ABBD,AB.又BE,CD,ABBE,ABCD,即EB和AB、CD和AB都成90角.（2）在RtABE中,AE= (cm).(此题是一个较好地利用判定定理来解决的问题,相应的图也是后面三垂线定理中要用到的,注意观察线与线的位置)6.有一旗杆高8 m,在它的顶点处系两条长10 m的绳子,拉紧绳子并把它的两个下端固定在地面的两点上（和旗杆脚不在同一直线上）.如果这两点都和旗脚距离6 m,那么旗杆就和地面垂直,为什么？解：AB=8 m,AC=AD=10 m,又BC=BD=6 m,则AB2+BC2=AC2,AB2+BD2=AD2.故ABBC,ABBD.又BCBD=B,即AB面BCD,旗杆就和地面垂直.(该题目充分说明用数学问题研究实际问题的价值所在,它表明用数学知识可解决许多实际问题)7.如图,=AB,PC,PD,C、D是垂足,直线AB和CD有什么关系？证明你的结论.解：ABCD.这是因为： (此题在二面角部分是一个重要的特例,许多问题的解决都要用到ABCD这一重要关系式,它启示我们对每一个题目都要很好地研究、多思多想)（二）1.预习 P22、P23.2.预习提纲（1）性质定理主要是讲什么？条件、结论各是什么？（2）由直线到平面的距离如何转化为点到平面的距离？板书设计9.4.1 直线和平面垂直的判定和性质（一）一、判定方法1.定义2.例13.判定定理“任意一条直线”线面垂直、线线垂直“两条相交直线”相应图例二、练习三、小结四、作业