2019-2020年高三数学一轮复习讲义 数列的概念与简单表示法教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三数学一轮复习讲义 数列的概念与简单表示法教案 新人教A版自主梳理1数列的定义按照_着的一列数叫数列，数列中的_都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是_的函数，数列的一般形式为：_，简记为an，其中an是数列的第_项1一定顺序排列每一个数定义域为N*(或它的子集)a1，a2，a3，an，n2通项公式：如果数列an的_与_之间的关系可以_来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的2.第n项n用一个公式3数列有三种表示法：它们分别是_、_、_.解析法(通项公式或递推公式)列表法图象法4数列的分类：数列按项数来分，分为_、_；按项的增减规律分为_、_、_和_递增数列an1_an；递减数列an1_an；常数列an1_an.按其他标准分类 有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列 an的符号正负相间，如1，1,1，1，4.有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列 0，在递推关系式两边取对数.有lg an12lg anlg 3，令bnlg an，则bn12bnlg 3，bn1lg 32(bnlg 3)，bnlg 3是等比数列，bnlg 32n12lg 32nlg 3，bn2nlg 3lg 3(2n1)lg 3lg an，an32n1.(5) 由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列，ann(a11)4n1，an4n1n. (6) 将an24an13an0变形为an2an13(an1an)，则数列an1an是以a2a16为首项，3为公比的等比数列，则an1an63n1，利用累加法可得an113n.题型三由an与Sn的关系求通项an例3（1）已知数列an的前n项和Sn2n23n1，求an的通项公式解当n1时，a1S12123110；当n2时，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5；又n1时，an4151a1，an（2）已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN*.求an的通项公式.解由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S11，因此a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因为an0，故an1an不成立，舍去.因此an1an30.即an1an3，从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n1.探究提高(1)已知an的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：an与Sn的关系式anSnSn1的条件是n2，求an时切勿漏掉n1，即a1S1的情况由SnSn1an推得的an，当n1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”.由SnSn1an推得的an，当n1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应 分段表示(“分写”)，即an(2)利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的灵活运用.变式训练3(1)已知an的前n项和Sn3nb，求an的通项公式(2)已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2an1，求an.解(1)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式；当b1时，a1不适合此等式当b1时，an23n1；当b1时，an.(2)由2an1，得Sn2，当n1时，a1S12，得a11；当n2时，anSnSn122，整理，得(anan1)(anan12)0，数列an各项为正，anan10.anan120.数列an是首项为1，公差为2的等差数列ana1(n1)22n1.(3) 设数列an的前n项和为Sn，a11，an2 (n1) (nN*).求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；是否存在自然数n，使得S1(n1)22 013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.解由an2(n1)，得Snnan2n(n1) (nN*).当n2时，anSnSn1nan(n1)an14(n1)，即anan14，数列an是以a11为首项，4为公差的等差数列.于是，an4n3，Sn2n2n (nN*). 由Snnan2n(n1)，得2n1 (nN*)，S1(n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1.令2n12 013，得n1 007，即存在满足条件的自然数n1 007.题型四用函数的思想方法解决数列问题数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.例4已知数列an. (1)若ann25n4，数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值.(2)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立.求实数k的取值范围.(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值.(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续. 解(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN*，所以3. (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决.(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.(3)易错分析：本题易错答案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.(3)已知数列an的通项an(n1)n (nN*)，试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由解方法一令，n9或n10时，an最大，即数列an有最大项，此时n9或n10.方法二an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.故a1a2a3a11a12，数列an中有最大项，为第9、10项有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用作差法，作商法，图象法求最大项时也可用an满足；若求最小项，则用an满足.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系：an.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法.数列的概念与简单表示法一、选择题1.下列说法正确的是 ()A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B.数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列C.数列的第k项为1 D.数列0,2,4,6，可记为2n2.数列an中，a1a21，an2an1an对所有正整数n都成立，则a10等于()A.34 B.55 C.89 D.1003.如果数列an的前n项和Snan3，那么这个数列的通项公式是()A.an2(n2n1) B.an32nC.an3n1D.an23n二、填空题4.已知数列an对于任意p，qN*，有apaqapq，若a1，a36_4_.5.已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，且1Sk0，解得n6或na1a2a3a4； a5a6a7an1 (nN*).数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11.对任意的nN*，都有ana6成立，并结合函数f(x)1的单调性，56，10a8.9写出下列各数列的一个通项公式(1)1，2，3，4，； (2)1，.9解(1)a11，a22，a33，ann(nN*)(2)a1，a2，a3， a4，an(1)n(nN*)10由下列数列an递推公式求数列an的通项公式：(1)a11，anan1n (n2)； (2)a11， (n2)；(3)a11，an2an11 (n2)10解(1)由题意得，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.将上述各式等号两边累加得， ana1n(n1)32，即ann(n1)321，故an. (2)由题意得，.将上述各式累乘得，故an (3)由an2an11，得an12(an11)，又a1120，所以2，即数列an1是以2为首项，以2为公比的等比数列所以an12n，即an2n111已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设cnabn，证明：当且仅当n3时，cn1cn.11(1)解a1S14对于n2有anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.a1也适合，an的通项公式an4n将n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11(求bn方法一)对于n2，由Tn12bn1，Tn2bn，得bnTnTn1(bnbn1)，bnbn1，bn21n (求bn方法二)对于n2，由Tn2bn得Tn2(TnTn1)，2Tn2Tn1，Tn2(Tn12)，Tn221n(T12)21n， Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n.b11也适合综上，bn的通项公式bn21n. (2)证明方法一由cnabnn225n，得2当且仅当n3时，1，0，即cn1cn方法二由cnabnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22当且仅当n3时，cn1cn 0，即cn1 cn.