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2019-2020年高三数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本理1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理() A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到“ab=ba”;“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;“(mn)t=m(nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”;“=”类比得到“=”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.43.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)4.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=()A.B.C.D.5.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A.B.C.-1D.+16.(xx陕西文,16,5分)观察下列等式1-=,1-+-=+,1-+-+-=+,据此规律,第n个等式可为.7.设函数f(x)=(x0),观察:f1(x)=f(x)= , f2(x)=ff1(x)=,f3(x)=ff2(x)=, f4(x)=ff3(x)=,根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时, fn(x)=ffn-1(x)=.8.在ABC中,不等式+成立,在凸四边形ABCD中,不等式+成立,在凸五边形ABCDE中,不等式+成立,依此类推,在凸n边形A1A2An中,不等式+成立.9.我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数y=f(x)(xD),对任意x,y,D均满足ff(x)+f(y),当且仅当x=y时等号成立.(1)若定义在(0,+)上的函数f(x)M,试比较f(3)+f(5)与2f(4)的大小;(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)M.10.已知O是ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长,分别交对边于A,B,C,则+=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”:+=+=1.请运用类比思想猜想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.B组提升题组11.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10等于() A.28B.76C.123D.19912.如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4),若=k,则1h1+2h2+3h3+4h4=.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若=k,则H1+2H2+3H3+4H4的值为()A.B.C.D.13.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图1所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.如图2,设想正方形换成正方体,把截线换成截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积,S4表示底面(截面)面积,那么类比得到的结论是.14.仔细观察下面和的排列规律:,若依此规律继续下去,得到一系列的和,那么在前120个和中,的个数是.15.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.答案全解全析A组基础题组1.C因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.2.B正确,错误.3.D由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x),选D.4.C正四面体的内切球与外接球的半径之比为13,故=.5.A设“黄金双曲线”的方程为-=1(a0,b0),则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中,因为,所以=0.又=(c,b),=(-a,b),所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.在等号两边同除以a2,得e2-1=e,解得e=.6.答案1-+-+-=+解析规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-+-+-;等式右边共有n项且分母分别为n+1,n+2,2n,分子为1,即为+.所以第n个等式可为1-+-+-=+.7.答案解析 f1(x)=f(x)=,f2(x)=ff1(x)=,f3(x)=ff2(x)=,f4(x)=ff3(x)=,当n2且nN*时, fn(x)=ffn-1(x)=.8.答案解析在ABC中,+=,在凸四边形ABCD中,+=,在凸五边形ABCDE中,+=,在凸n边形A1A2An中,+.9.解析(1)ff(x)+f(y),当且仅当x=y时等号成立,令x=3,y=5,得f(3)+f(5)2f(4).(2)证明:g-g(x1)+g(x2)=-+=0,当且仅当x1=x2时等号成立,所以gg(x1)+g(x2),所以g(x)M.10.解析结论:在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长,分别交四个面于E,F,G,H点.则+=1.证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设其高分别为h1,h,则=.同理,=;=;=,+=1.B组提升题组11.C观察给出的式子特点可推知,等式右端的值,从第三个式子开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子的右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.12.B在平面凸四边形中,连接P点与各个顶点,将其分成四个小三角形,根据三角形面积公式,可得S=(a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)=(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)=(h1+2h2+3h3+4h4).所以h1+2h2+3h3+4h4=.类似地,连接Q点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有V=(S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)=(kH1+2kH2+3kH3+4kH4)=(H1+2H2+3H3+4H4),所以H1+2H2+3H3+4H4=.13.答案+=解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边,底面面积类比为直角三角形的斜边,可得+=.14.答案14解析进行分组|,则前n组中和的总数是f(n)=2+3+4+(n+1)=,易知f(14)=119, f(15)=135,故所求数为14.15.解析(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.证法一:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2=sin2+cos2=.证法二:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=+-sin (cos 30cos +sin 30sin )=-cos 2+(cos 60cos 2+sin 60sin 2)-sin cos -sin2=-cos 2+cos 2+sin 2-sin 2-(1-cos 2)=1-cos 2-+cos 2=.
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