2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程学案文.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程学案文知识梳理1直线的斜率(1)当90时，tan表示直线l的斜率，用k表示，即ktan.当90时，直线l的斜率k不存在(2)斜率公式给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为 k.2直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)yy1k(xx1)不含直线xx1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距bykxb不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b1(a0，b0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用 诊断自测1概念思辨(1)直线的斜率为tan，则其倾斜角为.()(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P109A组T2)如果AC0，且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限故选C.(2)(必修A2P95T3)倾斜角为150，在y轴上的截距为3的直线方程为_答案yx3解析由直线的倾斜角为150，知该直线的斜率为ktan150，依据直线的斜截式方程ykxb，得yx3.3小题热身(1)(xx贵州模拟)已知直线l经过点P(2,5)，且斜率为，则直线l的方程为()A3x4y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140答案A解析由点斜式方程知直线l的方程为y5(x2)，即3x4y140.故选A.(2)已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1C2或1 D2或1答案D解析当a0时，直线方程为y20，不满足题意，所以a0，所以在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2a，则由2a，得a2或a1.故选D.题型1直线的倾斜角与斜率直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_数形结合由斜率公式求得kPA、kPB.答案(，1，)解析如图，kAP1, kBP，k(，1，)条件探究若将典例中点P(1,0)改为点P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数ytanx在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，直线倾斜角的范围是0，)，正切函数在0，)上并不是单调的因此在求解过程中要分与两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)2先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的斜率，见典例冲关针对训练已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2，2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_答案m解析如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl，2或，解得0m或m0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为m.题型2直线方程的求法求适合下列条件的直线的方程：(1)在y轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍根据已知条件代入相应公式，分别为斜截式、截距式、点斜式解(1)设直线的倾斜角为，则sin.cos，直线的斜率ktan.又直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线方程为yx5.即3x4y200或3x4y200.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1.l过点P(3,2)，1.a5，l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.(3)设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.tan3，tan2.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.方法技巧给定条件求直线方程的思路1在求直线方程时，首先应根据题意选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件2求直线方程常用的两种方法：(1)直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如典例(1)、(3)求直线方程，则直接利用斜截式即可(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可必要时要注意分类讨论如典例(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解3设直线方程的常用技巧(1)已知直线纵截距b时，常设其方程为ykxb或yb.(2)已知直线横截距a时，常设其方程为xmya.(3)已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设yy0k(xx0)冲关针对训练根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin(0)，从而cos，则ktan，故所求直线方程为y(x4)，即x3y40或x3y40.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x50，满足题意当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点线距离公式，得5，解得k，故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.题型3直线方程的综合应用角度1由直线方程求参数问题(xx泰安模拟)已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a0，b0)，则1.又2ab4，当且仅当，即a4，b2时，AOB面积Sab有最小值为4.此时，直线l的方程是1，即x2y40.(2)根据题意，直线斜率存在，设为k，且k0，故直线方程为y1k(x2)A，B(0,12k)(k0)，截距之和为12k32k3232.此时2kk.故截距之和最小值为32，此时l的方程为y1(x2)，即xy20.结论探究若本典例条件不变，求|PA|PB|的最小值及此时直线l的方程解A，B(0,12k)(k0，b0)设直线l的方程为1，则1，所以|OA|OB|ab(ab)2224，当且仅当“ab2”时取等号，此时直线l的方程为xy20.(2)设直线l的斜率为k，则k0，cos0，sincos，由解得tan2，即l的斜率为2，故选D.3(xx江西南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150 B135 C120 D105答案A解析由y得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，为半径的圆的一部分，如图所示由题意知直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l的方程为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|AB|22，所以SAOB21，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立，结合图可知k，故所求直线l的倾斜角为150.故选A.4(xx四川高考)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_答案5解析易知A(0,0)，B(1,3)，且PAPB，|PA|2|PB|2|AB|210，|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时取“”) 重点保分 两级优选练A级一、选择题1(xx朝阳模拟)直线xy10的倾斜角为()A. B. C. D.答案D解析直线斜率为，即tan，00，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A1 B2 C4 D8答案C解析直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，abab，即1，ab(ab)2224，当且仅当ab2时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9(xx新乡一中月考)若m，n满足m2n10，则直线mx3yn0过定点()A. B.C. D.答案B解析m2n10，m2n1.mx3yn0，(mxn)3y0，当x时，mxnmn，3y，y，故直线过定点.故选B.10若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是()A2 B2 C4 D2答案C解析因为点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n100.欲求m2n2的最小值可先求的最小值而表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点和点(m，n)的直线与直线4m3n100垂直时，原点到点(m，n)的距离最小，最小值为2.故m2n2的最小值为4.故选C.二、填空题11已知P(3,2)，Q(3,4)及直线axy30.若沿的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是_答案解析直线l：axy30是过点A(0，3)的直线系，斜率为参变数a，易知PQ，QA，l的斜率分别为：kPQ，kAQ，kla.若l与PQ延长线相交，由图可知kPQklkAQ，解得a.12(xx石家庄校级期末)一直线过点A(3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是_答案x3y90或y4x16解析设横截距为a，则纵截距为12a，直线方程为1，把A(3,4)代入，得1，解得a4，a9.a9时，直线方程为1，整理可得x3y90.a4时，直线方程为1，整理可得4xy160.综上所述，此直线方程是x3y90或4xy160.13过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为_答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上知，直线m的方程为x2y20或x2.14在下列叙述中：若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan；若直线斜率k1，则它的倾斜角为135；已知点A(1，3)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90；若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45，则这条直线必过点(3,4)；若直线斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点其中正确的命题是_(填序号)答案解析当90时，斜率k不存在，故错误；倾斜角的正切值为1时，倾斜角为135，故正确；直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90，故正确；直线过定点(1,2)，斜率为1，又1，故直线必过点(3,4)，故正确；斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故错误B级三、解答题15设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知a的取值范围是(，116已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程解(1)证明：直线l的方程可化为k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(2)由方程知，当k0时，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围为0，)(3)由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.