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2019-2020 年高考数学 回扣突破 30 练 第 27 练 不等式选讲 理 一.题型考点对对练 1.（与含绝对值不等式的解法）设函数. （1）求不等式的解集； （2）若存在实数解，求实数的取值范围. （2）等价于 ，等价于，而 ，若存在实数解，则，即实数的取值范围是. 2.（求解与绝对值不等式相关的最值问题）已知函数，且不等式的解集为， ， . （1）求， 的值； （2）对任意实数，都有 成立，求实数的最大值. 【解析】 （1）若，原不等式可化为，解得，即； 若，原不等式可化为，解得，即； 若，原不等式可化为，解得，即； 综上所述，不等式的解集为，所以， . （2）由（1）知， ，所以 ， 故， ，所以，即实数的最大值为 2. 3.（证明不等式）已知为正实数，且 （1）解关于的不等式； （2）证明： 4.（利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法）已知函数，且的解集为 （1）求的值； （2）若都是正实数，且，求证： 【解析】 （I）依题意,即 , （II）方法 1: ， ，当且仅当,即时取等号 方法 2: 由柯西不等式得 整理得，当且仅当,即时取等号. 5.（利用不等式性质比较大小）设不等式的解集为， 、 （）证明： ； （）比较与的大小，并说明理由 二.易错问题纠错练 6.（不等式证明方法选择不当至错）已知函数 (1) 解不等式； (2) 若， ，求证： 【解析】 （1）原不等式即为当时，则，解得； 当时，则，此时不成立；当时，则，解得 所以原不等式的解集为或 （2）要证，即，只需证明 则有 因为， ，则 ，所以，原不等式得证 【注意问题】首先利用分析法将要证明的不等式进行等价变形，然后作差结合不等式的特 点和题意证得等价变形后的结论即可证得原不等式成立. 7.（混淆不等式有解与不等式恒成立至错）已知函数（， ）的值域为 （）求实数的值； （）若存在，使得，求实数的取值范围 【注意问题】依题意有 三.新题好题好好练 8.（1）求不等式的解集； （2）若正实数满足，求证： 【解析】 （1）当时， ，解得，；当时， ，解得，；当时， ，解得，舍去综上， 故原不 等式的解集为 （2）证明：要证，只需证，即证，即证， 而，所以成立，所以原不等式成立 9.已知函数，若的最小值为 2. （1）求实数的值； （2）若，且均为正实数，且满足，求的最小值. ，解得或（舍） ；当时，即时， ，则当时， ， 解得（舍）或，当时，即， ，此时，不满足条件，综上所述，或； （2）由题意知， ，当且仅当时取“” ，所以的最小值为 18 10.已知函数 （1）若的最小值为 2，求的值； （2）若对， ，使得不等式成立，求实数的取值范围 【解析】 （1） ，当且仅当取介于和之间的数 时，等号成立，故的最小值为， ； （2）由（1）知的最小值为，故，使成立，即 ， ，. 11.已知函数. （）求不等式的解集； （）记的最小值为，若正实数， ，满足，求证：. （）由（）知，的最小值为 6，即.（或者） ，所以， 由柯西不等式可得 因此. 12.已知函数. (1) 若，求实数的取值范围; (2) 若 R , 求证：. 【解析】(1) 因为，所以. 当时，得，解得，所以; 当时，得，解得，所以; 当时，得，解得，所以; 综上所述，实数的取值范围是. (2) 因为 R , 所以 .
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