2019-2020年高一数学 3.2等差数列（备课资料） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高一数学 3.2等差数列（备课资料） 大纲人教版必修参考例题例1已知等差数列an中，a15=33,a45=153,试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一：由通项公式，得由217=23+4(n1)，得n=61.解法二：由等差数列性质，得a45a15=30d=15333,即d=4又an=a15+(n15)d,217=33+4(n15),解得n=61.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上，故有，解得n=61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.例2已知数列an为等差数列，a3=,a7=,求a15的值.解法一：利用通项公式，设数列an的首项为a1,公差为d则,解之得a15=a1+14d=+14()=解法二：利用等差数列的性质a7=a3+4d把已知条件代入,得：d=a15=a7+(157)d=.解法三：an为等差数列，a3,a7,a11,a15也成等差数列由a3=,a7=，知上述数列首项为，公差为2a15=+(31)（2）=例3两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，那么它们共有多少相同的项？分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列an，这样问题就转化为一个研究数列an的项数问题了.解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为cn,c1=11,又数列5，8，11，的通项公式为an=3n+2,数列3，7，11，的通项公式为bn=4n1.数列cn为等差数列，且d=12.cn=12n1又a100=302,b100=399,cn=12n1302得n25,可见已知两数列共有25个相同的项.解法二：an=3n+2,bn=4n1,设an=bm，则有3n+2=4m1(n,mN*)，即n=m1(n,mN*)要使n为正整数，m必须是3的倍数.设m=3k(kN*),代入前式得n=4k1,又13k100,且14k1100,解得1k25,共有25个相同的项.例4一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ ）A.2B.3C.4D.5分析：由得：4.6d答案：C备课资料一、参考例题例1已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为xd、x、x+d,则,解得x=5,d=2.所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.例2已知数列an为等差数列，a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2+3=5项，原数列的第三项是新数列的第3+23=9项.原数列的第n项是新数列的第n+(n1)3=4n3项.（1）当n=12时，4n3=4123=45,故原数列的第12项是新数列的第45项.（2）令4n3=29,解得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项.评述：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为，原数列的第n项是新数列的第n+(n1)m=(m+1)nm项.例3在等差数列an中，若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28，求an的通项公式.分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为an=a1+(n1)d,则,即代入得（a1+2d）(a1+12d)=7a1=47d,代入，（45d）(4+5d)=8，即1625d2=7,解得d=.当d=时，a1=,an=+(n1)=；当d=时，a1=,an=+(n1)（）=.分析二：视a3,a8,a13作为一个整体，再利用性质：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq解题.解法二：a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12，故知a8=4代入已知，得,解得由a3=1,a13=7得d=.an=a3+(n3).由a3=7,a13=1，仿上可得an=.评述：在解答本题时，首先应注意到an是等差数列这个大前提，否则，仅有a3+a8+a18=12及a3a8a13=28就无法求出a3,a8,a13的具体值；其次，应注意到a3,a8,a13中脚码3，8，13间的关系：3+13=8+8,从而得到a3+a13=a8+a8=2a8.二、参考练习题1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c互不相等，则为（ ）A.B.C.D.答案：C2.已知等差数列an的公差d=1，且a1+a2+a3+a98=137,那么a2+a4+a6+a98的值等于（ ）A.97B.95C.93D.91答案：C3.在等差数列an中，若a3+a9+a15+a21=8,则a12等于（ ）A.1B.1C.2D.2答案：C