2019-2020年高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法同步配套教学案新人教A版选修4.doc

2019-2020年高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法同步配套教学案新人教A版选修4对应学生用书P181作差比较法(1)作差比较法的理论依据ab0ab，ab0a0，若1，则ab；若1则ab；b1则ab；若b.(2)作商比较法解题的一般步骤：判定a，b符号；作商；变形整理；判定与1大小关系；得出结论 对应学生用书P18作差比较法证明不等式例1已知正数a，b，c成等比数列求证：a2b2c2(abc)2.思路点拨作差变形判定符号结论证明：因为正数a，b，c成等比数列，所以b2ac，b，(a2b2c2)(abc)2a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc2ab4b22bc2b(a2bc)2b()20.所以a2b2c2(abc)2.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论1求证：a2b22(ab1)证明：a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)2已知a，bR，nN，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)证明：(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)(1)若ab0时，bnan0，ab0，(ab)(bnan)a0时，bnan0，ab0.(ab)(bnan)0时，(bnan)(ab)0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1).作商比较法证明不等式例2设a0，b0，求证：aabb(ab).思路点拨不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法证明aabb0，(ab) 0，ab.当ab时，显然有1；当ab0时，1，0，所以由指数函数单调性，有1；当ba0时，01，1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb(ab) .当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较3设ab0，求证：.证明：法一：0，所以原不等式成立法二：ab0，故a2b20.故左边0，右边0.11.原不等式成立4若a0，b0，c0，求证：aabbcc(abc) .证明：不妨设abc0，那么由指数函数的性质，有1，1，1.所以abc1.原不等式成立.比较法的实际应用例3甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？思路点拨先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较解设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2 ，依题意有：mns，t2.t1，t2.t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20.即t1a时，设max(x0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)101.2 x，Q(x)81.4xP(x)Q(x)20.2x0.2(10x)当x10时，P(x)Q(x)此时选择起步价为10元的出租车较为合适当xQ(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适当x10时，P(x)Q(x)，两种出租车任选，费用相同 对应学生用书P201下列命题：当b0时，ab1；当b0时，ab0，b0时，1ab；当ab0时，1ab.其中真命题是()ABC D解析：只有不正确如a2，b1时21，但ab.答案：A2.1 Ba1或a0解析：1100a1.答案：D3若x，yR，记wx23xy，u4xyy2，则()Awu BwQ BP0，Q0.P2Q22()20.(当且仅当ab时取等号)P2Q20.PQ.答案：D5若0x1，与大小关系是_解析：.因为0x1，所以0.所以.答案：b0，x，y，则x，y的大小关系是x_y.解析：0，y0，xy.答案：2，求证：loga(a1)2，a11.loga(a1)0.log(a1)a0.由于loga(a1)loga(a1)2，0loga(a21)logaa22.221.即0，loga(a1)log(a1)a.