资源描述
2019-2020年高考数学大一轮复习 第七章 立体几何单元质量检测 理 新人教A版一、选择题(每小题4分,共40分)1以下关于几何体的三视图的叙述中,正确的是()A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析:画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三视图总是三个全等的圆答案:A2用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为,则球的体积为()A. B.C8 D.解析:S圆r2r1,而截面圆圆心与球心的距离d1,所以球的半径为R.所以VR3,故选B.答案:B3设、是三个互不重合的平面,m、n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是()A若,则B若m,n,则mnC若,m,则mD若,m,m,则m解析:对于A,若,可以平行,也可以相交,A错;对于B,若m,n,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B错;对于C,若,m,则m可以在平面内,C错;易知D正确答案:D4一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A7 B.C. D.解析:依题意可知该几何体的直观图如图所示,其体积为232111.答案:D5已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA12AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析:如图,以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2),(0,1,1),(0,1,2),cos,.答案:C6如图所示,正四棱锥PABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为()A. B.C. D.解析:连接AC,BD交于点O,连接OE,易得OEPA,所以所求角为BEO.由所给条件易得OB,OEPA,BE.所以cosOEB,所以OEB60,选C.答案:C7如图为棱长是1的正方体的表面展开图,在原正方体中给出下列三个命题:点M到AB的距离为;三棱锥CDNE的体积是;AB与EF所成的角是其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析:依题意可作出正方体的直观图如图,显然M到AB的距离为MC,正确;而VCDNE111,正确;AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角,即为,正确答案:D8正ABC与正BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为()A.B. C.D.解析:取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系,设BC1,则A,B,D.,.由于为平面BCD的一个法向量,可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1,1),cosn,sinn,.答案:C9正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2,E,F,G为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析:如图,取AB的中点E,建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),F(1,0,1),B1(1,0,2),A1(1,0,2),C1(0,2),G.(2,0,1),(1,0,1),.设平面GEF的一个法向量为n(x,y,z),由得令x1,则n(1,1),设B1F与平面GEF所成角为,则sin|cosn,|.答案:A10如图,在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,则下列结论不成立的是()AEF与BB1垂直BEF与BD垂直CEF与CD异面DEF与A1C1异面解析:连接B1C,AC,则B1C交BC1于F,且F为B1C的中点,又E为AB1的中点,所以EF綊AC,而B1B平面ABCD,所以B1BAC,所以B1BEF,A正确;又ACBD,所以EFBD,B正确;显然EF与CD异面,C正确;由EF綊AC,ACA1C1,得EFA1C1,故不成立的选项为D.答案:D二、填空题(每小题4分,共16分)11已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_解析:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,底面是底边长为4,高为2的等腰三角形,棱锥的高为2,故体积为V422.答案:12已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为_解析:将该三棱锥放入正方体内,若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切,所以2R,R,则球的表面积为S4R242.答案:213三棱锥SABC中,SBASCA90,ABC是斜边ABa的等腰直角三角形,则以下结论中:异面直线SB与AC所成的角为90;直线SB平面ABC;平面SBC平面SAC;点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析:由题意知AC平面SBC,故ACSB,SB平面ABC,平面SBC平面SAC,正确;取AB的中点E,连接CE,(如图)可证得CE平面SAB,故CE的长度即为C到平面SAB的距离a,正确答案:14如图,在矩形ABCD中,AB3,BC1,EFBC且AE2EB,G为BC的中点,K为AF的中点沿EF将矩形折成120的二面角AEFB,此时KG的长为_解析:如图,过K作KMEF,垂足M为EF的中点,则向量与的夹角为120,60.又,222211211cos603.|.答案:三、解答题(共4小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)15(10分)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥EABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA平面ABC,ABAC,ABAC,AE2.(1)求证:ACBD.(2)求三棱锥EBCD的体积解:(1)因为EA平面ABC,AC平面ABC,所以EAAC,即EDAC.又因为ACAB,ABEDA,所以AC平面EBD.因为BD平面EBD,所以ACBD.(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且ABAC,所以BC为圆O的直径设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得所以BC4,ABAC2.以下给出求三棱锥EBCD体积的两种方法:方法1:由(1)知,AC平面EBD,所以VEBCDVCEBDSEBDCA,因为EA平面ABC,AB平面ABC,所以EAAB,即EDAB.其中EDEADA224,因为ABAC,ABAC2,所以SEBDEDAB424,所以SEBCD42.方法2:因为EA平面ABC,所以VEBCDVEABCVDABCSABCEASABCDASABCED.其中EDEADA224,因为ABAC,ABAC2,所以SABCACAB224,所以VEBCD44.16(10分)如图,ABAD,BAD90,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将等边BCD沿BD折叠成BCD的位置,使得ADCB.(1)求证:平面GNM平面ADC.(2)求证:CA平面ABD.证明:(1)因为M,N分别是BD,BC的中点,所以MNDC.因为MN平面ADC,DC平面ADC,所以MN平面ADC.同理NG平面ADC.又因为MNNGN,所以平面GNM平面ADC.(2)因为BAD90,所以ADAB.又因为ADCB,且ABCBB,所以AD平面CAB.因为CA平面CAB,所以ADCA.因为BCD是等边三角形,ABAD,不妨设AB1,则BCCDBD,可得CA1.由勾股定理的逆定理,可得ABCA.因为ABADA,所以CA平面ABD.17(12分)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,ABCD,ABBC,AB2CD2BC,EAEB.(1)求证:ABDE;(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;(3)线段EA上是否存在点F,使EC平面FBD?若存在,求出;若不存在,请说明理由解:(1)证明:取AB的中点O,连接EO,DO.因为EBEA,所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形AB2CD2BC,ABBC,所以四边形OBCD为正方形,所以ABOD.因为EODO0.所以AB平面EOD,所以ABED.(2)因为平面ABE平面ABCD,且EOAB,所以EO平面ABCD,所以EOOD.由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OAOBODOE,设OB1,所以O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1)所以(1,1,1),平面ABE的一个法向量为(0,1,0)设直线EC与平面ABE所成的角为,所以sin|cos,即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(3)存在点F,且时,有EC平面FBD.证明如下:由,F,所以,(1,1,0)设平面FBD的法向量为v(a,b,c),则有所以取a1,得v(1,1,2)因为v(1,1,1)(1,1,2)0,且EC平面FBD,所以EC平面FBD,即点F满足时,有EC平面FBD.18(12分)如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,ABEF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直已知AB2,EF1.(1)求证:平面DAF平面BCF;(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小;(3)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60?解:(1)证明:平面ABCD平面ABEF,CBAB,平面ABCD平面ABEFAB,CB平面ABEF,AF平面ABEF,AFCB,又AB为圆O的直径,AFBF,又BFCBB,AF平面CBF.AF平面ADF,平面DAF平面CBF.(2)由(1)知AF平面CBF,FB为AB在平面CBF内的射影,因此,ABF为直线AB与平面CBF所成的角ABEF,四边形ABEF为等腰梯形,过点F作FHAB,交AB于H.已知AB2,EF1,则AH.在RtAFB中,根据射影定理得AF2AHAB,AF1,sinABF,ABF30.直线AB与平面CBF所成角的大小为30.(3)设EF中点为G,以O为坐标原点,方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)设ADt(t0),则点D的坐标为(1,0,t),C(1,0,t),又A(1,0,0),B(1,0,0),F,(2,0,0),设平面DCF的法向量为n1(x,y,z),则n10,n10.即,令z,解得x0,y2t,n1(0,2t,)由(1)可知AF平面CFB,取平面CBF的一个法向量为n2,依题意,n1与n2的夹角为60.cos60,即,解得t.因此,当AD的长为时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60.
展开阅读全文