2019-2020年高中数学 3.2立体几何中的向量方法的学案 新人教A版选修2.doc

2019-2020年高中数学 3.2立体几何中的向量方法的学案 新人教A版选修2【学习目标】1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决线线、线面平行与垂直等立体几何问题【探究新知】一、课前准备（预习教材P102 P104，找出疑惑之处）复习1：一条直线与一个平面内的_直线平行，则该直线与此平面平行。一条直线与一个平面内的_直线垂直，则该直线与此平面垂直。一个平面过另一个平面的_，则两个平面垂直。复习2：设a，b，ab 二、新课导学 学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知： 点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量. 直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量. 平面：空间中平面的位置可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. 平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作，那 么向量叫做平面的法向量.试一试：1.如果都是平面的法向量，则的关系 .2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .思考： 1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？ 向量表示平行、垂直关系：设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则 PAECDBF 典型例题例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD； 求平面的法向量步骤：设平面的法向量为；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；根据法向量的定义建立关于的方程组；解方程组,取其中的一个解,即得法向量.平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. 动手试试练1. 设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系： ； .练2. 设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系： ； .练3：在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量. 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和线线、线面垂直的证明【当堂检测】1. 设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是 .2. 设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 .3. 已知，下列说法错误的是（ ）A. 若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.下列说法正确的是（ ）A.平面的法向量是唯一确定的B. 平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量C.一条直线的方向向量是唯一确定的D.若是直线的方向向量，则5. 已知，能做平面的法向量的是（ ）A. B. C. D. 6如图，在直三棱柱中，,点M是的中点，求证：. 【课外延伸拓展】如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且。求证：对任意的，都有3.2立体几何中的向量方法（2）【学习目标】掌握向量运算在几何中求线线角、线面角的计算方法【探究新知】一、课前准备复习1：已知，且，求.复习2：已知，求平面的一个法向量二、新课导学 学习探究探究任务一：用向量求空间两异面直线所成的角 什么叫两异面直线所成的角？范围是；两向量的夹角呢？它们之间有什么关系？OPA新知：用空间向量表示空间直线（线段），然后利用公式求出两异面直线所成的角.探究任务二：用向量求直线与平面所成的角 问题：如何用向量方法求空间直线与平面所成的角？什么叫做直线与平面所成的角？如右图：PA与平面所成的角是，与（互补或互余）cos，故=_【应用举例】例1 如图，如图，M、N分别是棱长为2的正方体的棱、的中点(1)求异面直线MN与所成的角. (2)若AC、BD相交于点为O，求AD与平面MOD所成的角的正弦值。 学习小结1.空间直线与平面所成的角用公式_求解；2. 空间异面直线的夹角，可以转化为利用公式_求解.解空间图形问题时,可以分为三步完成: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 当堂检测（AB班完成）1. 已知，则= .2. 已知，则的夹角为 ，异面直线所成的角为_。3. 若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（ ）A. B. C. D.4.正方体中棱长为，,是的中点，则为（ ）A. B. C. D.【课外延伸拓展】已知四棱锥P-ABCD底面为直角梯形，PA底面ABCD，且， AB=1，M是PB的中点 （）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求AM与面BMC所成角的正弦值 3.2立体几何中的向量方法（3）【学习目标】1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离的计算方法；【探究新知】一、课前准备复习1：已知，试求平面的一个法向量. 复习2：什么是点到平面的距离？二、新课导学探究：点到平面的距离的求法问题：如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示?分析:过作于O,连结OA,则d=|=,.cosAPO=|cos| =|cos|=_=_新知：用向量求点到平面的距离的方法：BACD设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则=_试一试：在棱长为1的正方体中， 求点C到平面的距离.APDCBMN 典型例题例1如图,是矩形,平面, 分别是的中点,求点到平面的距离.小结：求点到平面的距离的步骤： 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标； 求平面的一个法向量的坐标； 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标； 代入公式求出距离. 当堂检测1. 在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是 .4如图，正方体的棱长为2，点是棱中点，点是中点，求证：(1)MOD1B (2)求点M到平面B1D1B的距离【课外延伸拓展】如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为.试建立适当的坐标系，写出点的坐标求与侧面所成的角.(3)若M为C1C的中点，求B1到平面MAB的距离.3.2立体几何中的向量方法（4）【学习目标】1.掌握空间向量的运算及其坐标运算；2. 让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；并能解决与之有关的简单问题ABp【探究新知】一、课前准备复习1：写出求线线角，线面角的计算公式：复习2：什么是二面角的平面角？二面角的平面角，是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内各作一条_于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，根据定义知道平面角有三个特点：(1)顶点在_上，(2)两条边分别在两个半平面内，与棱都_，(3)平面角的范围_.二、新课导学探究：求二面角的平面角:观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系：新知：两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角_. 典型例题例1：在棱长为2的正方体中，求平面与底面所成二面角的平面角正弦值大小. ()你能用几种方法求解？例2如图，平面，若，求二面角的正弦值()【当堂检测】1. 如图，长方体中，点E,F分别在上，且,. 求证：平面; 当时，求平面与平面所成的角的余弦值2.PAECDBF如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.求二面角C-PB-D的大小