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2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第五章 数列一、基础知识定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,n,. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列an的一般形式通常记作a1, a2, a3,,an或a1, a2, a3,,an。其中a1叫做数列的首项,an是关于n的具体表达式,称为数列的通项。定理1 若Sn表示an的前n项和,则S1=a1, 当n1时,an=Sn-Sn-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有an+1-an=d(常数),则an称为等差数列,d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式an=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:Sn=;3)an-am=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,则an+am=ap+aq;5)对任意正整数p, q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有,则an称为等比数列,q叫做公比。定理3 等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前n项和Sn,当q1时,Sn=;当q=1时,Sn=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则aman=apaq。定义4 极限,给定数列an和实数A,若对任意的0,存在M,对任意的nM(nN),都有|an-A|,则称A为n+时数列an的极限,记作定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列an的公比q满足|q|1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和Sn的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)对一切nk的自然数n都成立时(kn0)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为,:(1)若,则xn=c1an-1+c2n-1,其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定;(2)若=,则xn=(c1n+c2) n-1,其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。二、方法与例题1不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊猜想数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,;2)1,5,19,65,;3)-1,0,3,8,15,。【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.例2 已知数列an满足a1=,a1+a2+an=n2an, n1,求通项an.【解】 因为a1=,又a1+a2=22a2,所以a2=,a3=,猜想(n1).证明;1)当n=1时,a1=,猜想正确。2)假设当nk时猜想成立。当n=k+1时,由归纳假设及题设,a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,,所以=k(k+2)ak+1, 即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由数学归纳法可得猜想成立,所以例3 设0a1.【证明】 证明更强的结论:1an1+a.1)当n=1时,1a1=1+a,式成立;2)假设n=k时,式成立,即1an.又由an+1=5an+移项、平方得 当n2时,把式中的n换成n-1得,即 因为an-1an+1,所以式和式说明an-1, an+1是方程x2-10anx+-1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+ an-1=10an(n2).再由a1=0, a2=1及式可知,当nN+时,an都是整数。3数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=(n=1, 2, ),求S99=a1+a2+a99.【解】 因为an+a100-n=+=,所以S99=例7 求和:+【解】 一般地,所以Sn=例8 已知数列an满足a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn为数列的前n项和,求证:Sn2。【证明】 由递推公式可知,数列an前几项为1,1,2,3,5,8,13。因为, 所以。 由-得,所以。又因为Sn-20,所以Sn, 所以,所以Sn0,由可知对任意nN+,0且,所以是首项为,公比为2的等比数列。所以,所以,解得。注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。三、基础训练题1 数列xn满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1),其中Sn为xn前n项和,当n2时,xn=_.2. 数列xn满足x1=,xn+1=,则xn的通项xn=_.3. 数列xn满足x1=1,xn=+2n-1(n2),则xn的通项xn=_.4. 等差数列an满足3a8=5a13,且a10, Sn为前n项之和,则当Sn最大时,n=_.5. 等比数列an前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=_.6. 数列xn满足xn+1=xn-xn-1(n2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+ xn,则S100=_.7. 数列an中,Sn=a1+a2+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+|a10|=_.8. 若,并且x1+x2+ xn=8,则x1=_.9. 等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,若,则=_.10. 若n!=n(n-1)21, 则=_.11若an是无穷等比数列,an为正整数,且满足a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36,求的通项。12已知数列an是公差不为零的等差数列,数列是公比为q的等比数列,且b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)q的值;(2)数列bn的前n项和Sn。四、高考水平训练题1已知函数f(x)=,若数列an满足a1=,an+1=f(an)(nN+),则axx=_.2已知数列an满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),则an的通项an=.3. 若an=n2+, 且an是递增数列,则实数的取值范围是_.4. 设正项等比数列an的首项a1=, 前n项和为Sn, 且210S30-(210+1)S20+S10=0,则an=_.5. 已知,则a的取值范围是_.6数列an满足an+1=3an+n(n N+) ,存在_个a1值,使an成等差数列;存在_个a1值,使an成等比数列。7已知(n N+),则在数列an的前50项中,最大项与最小项分别是_.8有4个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和中16,第二个数与第三个数的和是12,则这四个数分别为_.9. 设an是由正数组成的数列,对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,则an=_.10. 在公比大于1的等比数列中,最多连续有_项是在100与1000之间的整数.11已知数列an中,an0,求证:数列an成等差数列的充要条件是(n2)恒成立。12已知数列an和bn中有an=an-1bn, bn=(n2), 当a1=p, b1=q(p0, q0)且p+q=1时,(1)求证:an0, bn0且an+bn=1(nN);(2)求证:an+1=;(3)求数列13是否存在常数a, b, c,使题设等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立?证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项和为972,这样的数列共有_个。2设数列xn满足x1=1, xn=,则通项xn=_.3. 设数列an满足a1=3, an0,且,则通项an=_.4. 已知数列a0, a1, a2, , an, 满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且a0=3,则=_.5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=_.6. 各项均为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有_项.7. 数列an满足a1=2, a2=6, 且=2,则_.8. 数列an 称为等差比数列,当且仅当此数列满足a0=0, an+1-qan构成公比为q的等比数列,q称为此等差比数列的差比。那么,由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时,项数最多有_项.9设hN+,数列an定义为:a0=1, an+1=。问:对于怎样的h,存在大于0的整数n,使得an=1?10设akk1为一非负整数列,且对任意k1,满足aka2k+a2k+1,(1)求证:对任意正整数n,数列中存在n个连续项为0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项的数列。11求证:存在唯一的正整数数列a1,a2,使得a1=1, a21, an+1(an+1-1)=六、联赛二试水平训练题1设an为下述自然数N的个数:N的各位数字之和为n且每位数字只能取1,3或4,求证:a2n是完全平方数,这里n=1, 2,.2设a1, a2, an表示整数1,2,n的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目:a1=1; |ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。试问f(xx)能否被3整除?3设数列an和bn满足a0=1,b0=0,且求证:an (n=0,1,2,)是完全平方数。4无穷正实数数列xn具有以下性质:x0=1,xi+1xi (i=0,1,2,),(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个n1,使3.999均成立;(2)寻求这样的一个数列使不等式4对任一n均成立。5设x1,x2,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).试问这样的序列最多有多少项?6设a1=a2=,且当n=3,4,5,时,an=,()求数列an的通项公式;()求证:是整数的平方。7整数列u0,u1,u2,u3,满足u0=1,且对每个正整数n, un+1un-1=kuu,这里k是某个固定的正整数。如果uxx=xx,求k的所有可能的值。8求证:存在无穷有界数列xn,使得对任何不同的m, k,有|xm-xk|9.已知n个正整数a0,a1,,an和实数q,其中0q1,求证:n个实数b0,b1,,bn和满足:(1)akbk(k=1,2,n);(2)q(k=1,2,n);(3)b1+b2+bn(a0+a1+an).
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