2019-2020年高中数学 2.5 简单的幂函数名师考点精讲 北师大版必修1.doc

2019-2020年高中数学 2.5 简单的幂函数名师考点精讲 北师大版必修1 读教材填要点1幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数提醒在中学时段只要求关注1，1，2，3，共5种幂函数的性质2函数的奇偶性(1)奇函数：一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(x)的绝对值相等，符号相反，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是奇函数(2)偶函数：一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，在偶函数f(x)中，f(x)和f(x)的值相等，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是偶函数(3)奇偶性：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性小问题大思维1具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(x)f(x)，故变量x，x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(x)f(x)可知，x，x也均在定义域内2既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？提示：不对如函数y0(xR)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y0(xR)既是奇函数又是偶函数3定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？提示：f(0)0.研一题例1已知幂函数f(x)(m2m1)xm22m3，当x(0，)时为减函数(1)求函数yf(x)的解析式；(2)用描点法作出f(x)的图像；(3)给出yf(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性自主解答(1)f(x)(m2m1)xm22m3为幂函数，m2m11，解之得m1或m2.当m1时，f(x)x01(x0)，易知不符合题意当m2时f(x)x3(x0)，易知在(0，)上为减函数f(x)x3(x0)；(2)列表：x21012y18不存在81作图：(3)由(2)可知f(x)的单调减区间为(0，)及(，0)，f(x)的值域为(，0)(0，)，f(x)为奇函数悟一法(1)幂函数yx要满足三个特征：幂x的系数为1；底数只能是自变量x，指数是常数；项数只有一项只有满足这三个特征，才是幂函数(2)幂函数的图像可用描点法得到，其性质可由图像得到通一类1(1)若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则f(x) _(2)已知幂函数yf(x)的图像过点(2，4)，则f(1)_解析：(1)f(x)为反比例函数，设f(x)kx1(k0)又f(x)为幂函数，k1，f(x)x1.(2)设yx，把点(2，4)代入得42，2，解析式为yx2，f(1)(1)21.答案：(1)x1(2)1研一题例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1)；(3)f(x)；(4)f(x)自主解答(1)函数的定义域为R，且f(x)(x)3(x)x3xf(x)，f(x)为奇函数；(2)定义域为x|x1或x1，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)定义域为2，2，任取x2，2，则x2，2f(x)0f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数；(4)法一：可知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，设x0，则x0，f(x)(x)21(x21)f(x)，设x0，f(x)(x)21x21f(x)，f(x)为奇函数法二：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数悟一法判断函数的奇偶性常用的方法：(1)定义法：若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，则进一步判断f(x)与f(x)的关系，注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论(2)图像法：若函数图像关于原点对称，则此函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则此函数为偶函数通一类2判断下列函数是奇函数还是偶函数(1)f(x)；(2)f(x)x32x；(3)f(x)|x1|x1|；(4)f(x)解：(1)函数的定义域为(，)，关于原点对称又f(x)f(x)，f(x)是偶函数；(2)定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)，函数f(x)是奇函数；(3)函数的定义域为(，)，f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数；(4)法一：可知函数f(x)的定义域关于原点对称当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)；当x0时，x0时此函数为增函数，又该函数为奇函数答案：D4已知对于任意实数x，函数f(x)f(x)，若方程f(x)0有2 009个实数解，则这2 009个实数解之和为_解析：由奇函数的图像的对称性可知，这些解之和为0.答案：05函数yf(x)是偶函数，且在(，0上为增函数，则f()与f(1)的大小关系为_解析：1，且函数yf(x)在(，0上为增函数，f(1)f()又yf(x)是偶函数，f(1)f(1)f(1)f()答案：f(1)f()6若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式解：f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)当x0时，x0，f(x)f(x)x(1x)当x0时，f(0)f(0)，即f(0)f(0)，f(0)0.函数f(x)的解析式为f(x)一、选择题1下列幂函数中为偶函数的是()Ayx1ByxCyx3 Dyx2解析：由偶函数的性质f(x)f(x)知，D正确答案：D2若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解析：由f(x)ax2bxc(a0)为偶函数得b0，g(x)ax3cx，(a0)，其定义域为R，且g(x)a(x)3c(x)g(x)，g(x)为奇函数答案：A3已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是()A(，) B，)C(，) D，)解析：作出示意图可知：f(2x1)f()2x1，即x.答案：A4已知定义域为R的函数f(x)在(8，)上为减函数，且函数yf(x8)为偶函数，则()Af(6)f(7) Bf(6)f(9)Cf(7)f(9) Df(7)f(10)解析：yf(x8)为偶函数，f(x8)f(x8)，yf(x)的对称轴为x8.f(x)在(8，)为减函数，由对称性知f(x)在(，8)上为增函数，故由单调性及对称轴结合图像知f(7)f(10)答案：D二、填空题5若点(2，)在幂函数yf(x)的图像上，则f()_解析：设f(x)x(为常数)，则221，1，f(x)x1，f()()14.答案：46已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，则f(x)_，g(x)_解析：f(x)g(x)x2x2，f(x)g(x)(x)2(x)2.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)g(x)x2x2. 由解得f(x)x22，g(x)x.答案：x22x7如果y是奇函数，则f(x)_解析：设g(x)当x0，则 g(x)2(x)3(2x3)g(x)是奇函数，g(x)g(x)，当x0时，g(x)2x3，即f(x)2x3.答案：2x38已知函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域为，且它们在x0，上的图像如图所示，则不等式0的解集是_解析：作出函数yf(x)与yg(x)在，上的图像由图像知，不等式0的解集为(，0)(，)答案：(，0)(，)三、解答题9研究函数yx2(即y)的奇偶性、单调性，并作出函数的图像解：yx2，函数的定义域为x|x0取任意的x(x0)，则x0.又f(x)f(x)，yx2在定义域内是偶函数当任意x1，x2(0，)，且x1x2时，f(x1)f(x2)，0x1x2，xx0，x1x20，x2x10.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)，即f(x)x2在(0，)上为减函数由偶函数的性质知f(x)x2在(，0)上为增函数通过描点作图可得yx2(x0)的图像如上图所示10已知函数f(x)x，且f(1)2.(1)求m; (2)判断f(x)的奇偶性；(3)函数f(x)在(1，)上是增函数还是减函数？并证明解：(1)因为f(1)2，所以1m2，即m1；(2)由(1)知f(x)x，显然函数定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又f(x)(x)x(x)f(x)，所以，函数f(x)x是奇函数(3)函数f(x)在(1，)上是增函数，设x1、x2是(1，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x2)x1x2()x1x2(x1x2)，当1x1x2时，x1x21，x1x210，x1x20，从而f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)x在(1，)上为增函数