2019-2020年高中数学复习讲义 第九章 圆锥曲线.doc

2019-2020年高中数学复习讲义 第九章 圆锥曲线定义标准方程【知识图解】圆锥曲线双曲线椭圆抛物线几何性质定义几何性质标准方程定义几何性质标准方程圆锥曲线应用 【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 第1课椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【基础练习】1已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 2.椭圆的离心率为3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 4. 已知椭圆的离心率，则的值为【范例导析】例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;写出方程.解：（1）椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），由椭圆的定义知，又，所以，椭圆的标准方程为。（2）方法一：若焦点在x轴上，设方程为，点P（3,0）在该椭圆上即又，椭圆的方程为.若焦点在y轴上，设方程为，点P（3,0）在该椭圆上即又，椭圆的方程为方法二：设椭圆方程为.点P（3,0）在该椭圆上9A=1，即,又，椭圆的方程为或.【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中.例2.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。【分析】列方程组求得P坐标；解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围. 解：（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(,),则=（+6, ）,=（4, ）,由已知可得 则2+918=0, =或=6. 由于0,只能=,于是=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又66,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ,由于66, 当=时,d取得最小值点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.【反馈练习】1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）2.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍4.若椭圆的离心率,则的值为 5.椭圆的右焦点到直线的距离为6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或7.椭圆上的点到直线的最大距离是8. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值从而求得椭圆方程解：设两焦点为、，且，从椭圆定义知即从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，从而所求椭圆方程为或第2课椭圆B【考点导读】1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;2. 能解决椭圆有关的综合性问题.【基础练习】1.曲线与曲线的（D）A 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同 D 焦距相等2.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是 3 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是【范例导析】例1.椭圆（ab0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。 求离心率e的取值范围.分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.解：设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入，得x2-c2，即。0，0，即01，01，解得1。又01，1.例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标.例2分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故椭圆方程为=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4.【反馈练习】1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为2已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则F2AB的面积为3.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为4.椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 12 5.椭圆上不同三点，与焦点的距离成等差数列求证:；证明：由椭圆方程知，由圆锥曲线的统一定义知：， 同理 ，且， ，即 第3课双曲线【考点导读】1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.【基础练习】1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则2. 方程表示双曲线，则的范围是3已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为4. 已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，则双曲线的标准方程为【范例导析】例1. (1) 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程;（2）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;写出方程.解：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为；点在双曲线上，点的坐标适合方程。将分别代入方程中，得方程组：将和看着整体，解得，即双曲线的标准方程为。点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。（2）解法一：双曲线的渐近线方程为：当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为， 在双曲线上 由，得方程组无解当焦点在y轴时，设双曲线方程为， 在双曲线上， 由得，所求双曲线方程为：且离心率解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：点在双曲线上，所求双曲线方程为：，即 点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便通常是根据题设中的另一条件确定参数例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)解：如图:以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，yxoABCP用y=x代入上式，得，|PB|PA|,例2答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.解：直线的方程为，即 由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，同理得到点（1，0）到直线的距离由 即 于是得 解不等式，得 由于所以的取值范围是点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.【反馈练习】1.双曲线的渐近线方程为2.已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为3.已知双曲线的两个焦点为，P是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若=3,则=75.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程解：（1）设所求双曲线方程为：，则，所求双曲线方程为（2），或，渐近线方程为当焦点在轴上时，由且，得所求双曲线方程为当焦点在轴上时，由，且，得所求双曲线方程为7.设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出的值解：由过两点，得的方程为由点到的距离为，得将代入，平方后整理，得令，则解得或而，有故或因，故，所以应舍去故所求离心率说明：此题易得出错误答案：或其原因是未注意到题设条件，从而离心率而，故应舍去8.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）对于（2）中的点，求的面积解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得 双曲线方程为； （2）由（1）可知， ， ， ，又点在双曲线上， ， ， 即； （3） 的面积为6 第4课抛物线【考点导读】1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.【基础练习】1.焦点在直线x2y4=0上的抛物线的标准方程是2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 3.抛物线的焦点坐标是_(a,0)_4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是5点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值【范例导析】例1. 给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a0，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求d的最小值解：设P（x0，y0）（x00），则y02=2x0，d=PA=a0，x00，（1）当0a1时，1a0，此时有x0=0时，dmin=a（2）当a1时，1a0，此时有x0=a1时，dmin=例2.如图所示，直线和相交于点M，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程例2解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令则，由两点间的距离公式，得方程组： 解得或AMN为锐角三角形，则，又B在曲线段C上，则曲线段C的方程为【反馈练习】1.抛物线的准线方程是2.抛物线的焦点到其准线的距离是3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为4.抛物线上的点到直线距离的最小值是5.若直线l过抛物线(a0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= 6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(10，4）、(10，4）设抛物线方程为x2=2py,将A点坐标代入，得100=2p(4),解得p=12.5,于是抛物线方程为x2=25y.第6题由题意知E点坐标为(2，4)，E点横坐标也为2，将2代入得y=0.16,从而|EE|=(0.16)(4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切分析：可设抛物线方程为用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.解：（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得所求抛物线方程为（2）证明：作于于M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：在直角梯形中：，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交 第5课圆锥曲线的统一定义【考点导读】1. 了解圆锥曲线的第二定义.2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.【基础练习】1.抛物线的焦点的坐标是, 准线方程是2.如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是2 3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则= 4.点M与点F的距离比它到直线:的距离小1,则点的轨迹方程是【范例导析】例1.已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程解：双曲线渐近线方程为，设双曲线方程为若，则，准线方程为：，若，则，准线方程为：，所求双曲线方程为：或点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.例2.已知点，在双曲线上求一点，使的值最小解：，设点到与焦点相应准线的距离为则，至此，将问题转化成在双曲线上求一点，使到定点的距离与到准线距离和最小即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，解之得，点点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力【反馈练习】1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 3.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为4双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 8 第6课圆锥曲线综合【考点导读】1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题.【基础练习】1. 给出下列四个结论：当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；抛物线；已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（12，0）。其中所有正确结论的个数是42.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为3.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是【范例导析】例1. 已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为由可得因此过A点的切线方程为 (1)过B点的切线方程为 (2)解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值（2）=0可得三角形面积 所以当且仅当时取等号点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 【反馈练习】1.已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是2.设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且，则3.设P是椭圆上一点，、 是椭圆的两个焦点，则的最小值是4.已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为5. 双曲线C与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是6.已知椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，则点到椭圆右焦点的距离等于_2 _ 7.如图，点A是椭圆C：的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BPx轴，9,若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程.8.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为求圆的方程.解：设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即=4 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 9.已知动圆过定点，且与直线相切，其中,求动圆圆心的轨迹的方程.解：如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线所以轨迹方程为；第9题