2019-2020年高中数学互斥事件及其发生的概率备课资料.doc

2019-2020年高中数学互斥事件及其发生的概率备课资料合作与讨论【问题1】某人把外形相似的4把钥匙串在一起，其中两把是房门钥匙，但他忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，试后不放回.问：（1）此人一次就能打开房门的概率是多少？（2）此人在两次内能打开房门的概率是多少？我的思路：第（1）问显然是古典概型，每次拿哪把钥匙是等可能的，因此，此人一次就能打开房门的概率是.在第（2）问中，记“恰好第i次打开房门”为事件Ai（i=1，2），显然题设事件A=A1+A2.A1表示第1次打开房门的事件，A2表示第1次未打开，第二次打开房门的事件.对事件A1来说，其概率已由第（1）问求出来，但对事件A2来讲，用我们现有的知识不容易求出，因而用这种方法做有一定难度.不妨换个角度来想，从反面入手，如果把“在两次内能打开房门”记为事件A，则对立事件就表示“在两次内不能打开房门”.设a、b、c、d分别表示四把钥匙，其中a、b表示能打开房门的那两把钥匙，显然，共有多少种基本事件，它们分别为.而包含几个基本事件，分别为因而P（）=，进而所求概率P（A）=.【问题2】有3个1 g砝码，3个3 g砝码和2个5 g砝码，任意取出2个砝码，求：（1）两个砝码重量相同的概率.思路：记“两个砝码重量相同”的事件为A.“两个砝码重量都是1 g”的事件为A1，“两个砝码重量都是3 g”为事件A2，“两个砝码重量都是5 g”为事件A3，A1，A2，A3是互斥的.显然A=A1+A2+A3，由前面知识得P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=.（为什么）由互斥事件的加法公式，有P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=.（2）两个砝码总重为6 g的概率.思路：记“两个砝码总重量为6 g”为事件B.“两个砝码中一个砝码为1 g，另一个砝码为5 g”为事件B1，“两个砝码重量都为3 g”为事件B2，B1、B2互斥.显然B=B1+B2.P（B1）=，P（B2）=.（为什么）P（B）=P（B1）+P（B2）=+=.（3）两个砝码总重量不超过8 g的概率.思路：正面去求比较复杂，故可考虑其对立事件.记“两个砝码总重量不超过8 g”为事件C，设其对立事件为D，事件D表示什么呢？事件D包含几个基本事件？P（D）等于多少？P（C）呢？思考过程本节主要知识点有互斥事件与对立事件及互斥事件的概率加法公式.本节的考试要求是互斥事件、对立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.不能同时发生的两个事件称为互斥事件.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.要注意两个事件互斥与对立的联系与区别.两个事件若对立则必然互斥，且必有一个事件发生.因此，两个事件是对立事件需满足两个条件：互斥，两个事件中必有一个发生.从集合的角度看，由事件A的对立事件所含的结果组成的集合是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.两个事件若是对立事件则一定是互斥事件，但若是互斥事件则不一定是对立事件.【例1】在一对事件A、B中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，那么A和B（）A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，但不是互斥事件C.既是互斥事件，又是对立事件D.既不是互斥事件，又不是对立事件思路：关键在于把握互斥事件和对立事件的意义.A、B不能同时发生，故是互斥事件.又A必然发生，所以A、B既是互斥事件又是对立事件.答案：C在用互斥事件的概率加法公式求概率时，一定要明确公式的前提是事件彼此互斥，否则就可能出错.因此判断事件是否互斥就显得特别重要.【例2】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么下列事件中互斥事件的个数是（）至少有一个白球；都是白球至少有一个白球；至少有一个红球恰有一个白球；恰有两个白球至少有一个白球；都是红球A.0B.1C.2D.3思路：当取出的两球都是白球时，两个事件同时发生，故中的两个事件不是互斥事件.当取出的两球为一红一白时，两个事件同时发生，故中两个事件不是互斥事件.中的两个事件不可能同时发生，故是互斥事件.中的两个事件不可能同时发生，故是互斥事件.答案：C【例3】有下列两个问题：（1）一射手命中10环的概率是0.2，命中靶的其余部分的概率是0.65，求目标被命中的概率；（2）两人各掷一枚硬币，求不出现正面的概率.甲、乙两人分别做这两题如下：（1）目标被命中的概率等于0.2+0.65=0.85.（2）“同时出现正面”的概率是，由于“不出现正面”是“同时出现正面”的对立事件，所以它的概率是1=.他们做得正确吗？为什么？思路：关键看符不符合互斥事件的概率计算公式所满足的条件.答案：（1）因为“命中10环”和“命中靶的其余部分”是互斥事件，故可用互斥事件的概率加法公式求得，故甲做的第（1）题正确.（2）因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，其概率的和不为1，故乙做的第（2）题错误.在用互斥事件的概率加法公式求某事件的概率时，要注意若某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件所包含的情形较少时，可求其对立事件的概率，再用公式P（）=1P（A）计算.例题解析【例1】在一只袋子中装有4个红玻璃球、3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，试求：（1）取得两个红球的概率；（2）取得两个绿球的概率；（3）取得两个同颜色的球的概率；（4）至少取得一个红球的概率.解析：记四个红玻璃球为a1、a2、a3、a4，三个绿玻璃球为b1、b2、b3，第一次抽取有7种结果，对第一次抽取时的每种结果，第二次抽取时又有6种结果，故共有76=42种结果.（1）记“取得两个红球”为事件A1，A1有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），（a2，a1），（a3，a1），（a4，a1），（a3，a2），（a4，a2），（a4，a3）12种结果.P（A1）=.（2）记“取得两个绿球”为事件A2，A2有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），（b2，b1），（b3，b1），（b3，b2）6种结果.P（A2）=.（3）记“取得两个同颜色的球”为事件A.A=A1+A2，A1、A2互斥.由互斥事件的概率加法公式得P（A）=P（A1）+P（A2）=+=.（4）记“至少取得一个红球的概率”为事件B，显然事件B是事件A2的对立事件.P（B）=1P（A2）=1=.点评：袋中摸球问题是概率中的重要题型，课本中举了一些例子，主要考查概念，作定性分析.本题把本节所学知识与前几节知识结合起来就一些随机事件作了定量分析，目的是加强知识的综合应用，通过枚举法或画树形图找出随机事件的结果的个数，利用等可能性事件求出概率，再通过互斥事件的概率公式，达到巩固概念的目的.在求解时，要注意灵活使用公式，若直接求较困难或情况较多，则可通过求其对立事件的概率来求.【例2】将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出的点数，若把点P（a，b）落在不等式组所表示的平面区域的事件记为A，求P（A）.解析：如图，用直角坐标系中的点表示基本事件，落在不等式组所表示的平面区域内的点共有6个，所以P（A）=.点评：如果随机事件的可能发生的结果比较多时，可以把基本事件用直角坐标系中的点表示，利用数形结合的思想方法，更容易找到所求基本事件及总的基本事件的个数.知识总结对较复杂事件的概率在具体求解时大多采取“分解”的方法，即将所求事件的概率转化成彼此互斥的事件的概率的和，体现中学数学中常用的转化的思想.如果转化成的彼此互斥的事件较多，则可转化成求其对立事件的概率.互斥事件与对立事件不要混淆，互斥是指两个事件不可能同时发生，它们中也不一定发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生.在求彼此互斥的每个事件的概率时要用前面求等可能性事件概率的方法，通过枚举法或画树形图确定基本事件的结果种数.