2019-2020年高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程课堂探究 新人教B版必修2.doc

2019-2020年高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程课堂探究 新人教B版必修2探究一 二元二次方程表示圆的条件方程x2y2DxEyF0表示圆的两种判断方法：(1)(配方法)对形如x2y2DxEyF0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；(2)(运用圆的一般方程的判断方法求解)即通过判断D2E24F是否为正，确定它是否表示圆【典型例题1】 若关于x，y的方程x2mxyy22xyn0表示的曲线是圆，则mn的取值范围是()A. B. C. D.解析：因为x2mxyy22xyn0表示圆，所以解得n，所以mn.答案：A探究二 用待定系数法求圆的方程1用待定系数法求圆的方程的大致步骤如下：2对圆的一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.【典型例题2】 (1)已知A(1,1)，B(6,0)，C(1,7)，则ABC的外接圆的方程是_解析：设圆的方程是x2y2DxEyF0，将A，B，C三点的坐标代入方程，解方程组得D6，E8，F0，从而圆的方程为x2y26x8y0.答案：x2y26x8y0(2)求圆心在yx上且过两点(2,0)，(0，4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程解：探究三 与圆有关的轨迹问题圆是一个双重对称图形，与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决，解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等(1)直接法：根据题设，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点所满足的关系式；(2)定义法：当所列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出点的轨迹方程；(3)相关点代入法：若动点P(x，y)因为圆上的另一动点Q(x1，y1)而运动，且x1，y1可用x，y表示，则将Q点的坐标代入已知圆的方程，求得动点的轨迹方程【典型例题3】 已知一曲线是与两定点(0,0)和(3,0)距离之比为m(m0)的点的轨迹，求此曲线方程，并说明是什么曲线思路分析：设动点坐标为(x，y)，将题设条件等式用方程给出，化简方程为最简形式即可解：设所求曲线上任一点的坐标为P(x，y)，由题意得，m，即(m21)x2(m21)y26m2x9m20.当m1时，x，其轨迹为两点的中垂线；当m1时，方程可化为2y22，其轨迹是以为圆心，以为半径的圆点评 求轨迹方程与轨迹是不同的，求轨迹方程时只需要求出方程，求轨迹时，不仅要求出轨迹方程，还要指出方程表示的图形，如果方程中含有参数要分类讨论，如有不符合条件的点要舍去【典型例题4】 已知点P在圆C：x2y28x6y210上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程解法一：设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则所以因为点P(x0，y0)在圆C：x2y28x6y210上，所以x20y208x06y0210.所以(2x)2(2y)28(2x)6(2y)210.即点M的轨迹方程为x2y24x3y0.解法二：设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA.圆C的方程可化为(x4)2(y3)24，圆心C(4,3)，|CP|2，则点A的坐标为.如图所示，在OCP中，M，A分别是OP，OC的中点，则|MA|CP|，即|MA|1.又当O，C，P三点共线时，|MA|1.所以点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆所以点M的轨迹方程为(x2)221.探究四 求圆关于点(线)对称的圆1求圆C：(xa)2(yb)2r2关于点P(x0，y0)对称的圆的方程，首先要找出圆心C(a，b)关于点P(x0，y0)的对称点，得到对称圆的圆心，半径不变，即得所求圆的方程2求圆关于直线mxnyp0对称的圆的方程，只需求出圆心关于直线的对称点即可【典型例题5】 试求圆C：x2y2x2y0关于直线l：xy10对称的曲线C的方程思路分析：对称圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求解法一：设P(x，y)为所求曲线C上任意一点，P关于l的对称点为P(x0，y0)，则P(x0，y0)在圆C上由题意可得解得 (*)因为P(x0，y0)在圆C上，所以x20y20x02y00，将(*)代入，得(y1)2(x1)2(y1)2(x1)0.化简，得x2y24x3y50，即曲线C的方程是x2y24x3y50.解法二：(特殊对称)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需求圆心C，圆心C关于直线l：xy10的对称点为C，因此所求圆C的方程为(x2)22.