2019-2020年高考数学总复习 第十章10.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布教案 理 北师大版.doc

2019-2020年高考数学总复习 第十章10.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布教案 理 北师大版考纲要求1理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题2利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义知识梳理1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称EX_为随机变量X的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的_(2)方差：称DX_为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的_，其算术平方根为随机变量X的_2均值与方差的性质(1)E(aXb)_；(2)D(aXb)_(a，b为实数)3两点分布和二项分布的均值和方差若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX_，DX_.若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即XB(n，p)，则EX_，DX_.若随机变量 X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX_，DX_.4正态分布(1)正态曲线：如果连续型随机变量X的概率密度函数为，(x)，x(，)，其中，为参数，则称，(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，用XN(，2)表示(3)正态分布的性质：曲线位于_轴的上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，关于_对称；曲线在X时达到峰值_；当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越_；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越_；曲线与x轴之间的面积为_基础自测1已知随机变量服从正态分布N(3，2)，则P(3)()A B C D2某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为()A10% B20% C30% D40%3随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，若EX，则DX的值是_4某运动员投篮命中率p0.6.(1)求一次投篮时命中次数的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数的均值思维拓展1离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？提示：虽然离散型随机变量的分布列和均值都是从整体上刻画随机变量的，但二者有所不同分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平2样本的方差与随机变量的方差有何不同？提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量；而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量3方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？提示：方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位4参数，在正态分布中的实际意义是什么？提示：参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计一、离散型随机变量的均值【例11】已知随机变量X的分布列为：X21012Pm(1)求EX；(2)若Y2X3，求EY.【例12】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望方法提炼1求数学期望(均值)的关键是求出其分布列若已知离散型分布列，可直接套用公式EXx1p1x2p2xnpn求其均值随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算2若X是随机变量，且YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且EYaEXb.请做针对训练2二、离散型随机变量的方差【例21】袋中有20个大小相同的球，其中标号为0号的有10个，标号为n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若aXb，E1，D11，试求a，b的值【例22】有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为X，Y(单位：s)，其分布列如下：X101P0.10.80.1Y21012P0.10.20.40.20.1试比较这两种品牌手表的质量方法提炼均值仅体现了随机变量取值的平均水平如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中请做针对训练3三、二项分布的均值与方差【例31】某人投弹命中目标的概率p0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差【例32】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望E3，标准差为.(1)求n，p的值并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率方法提炼1若X服从两点分布，则EXp，DXp(1p)；2若XB(n，p)，则EXnp，DXnp(1p)请做针对训练4四、正态分布及其应用【例41】已知随机变量服从正态分布N(2，2)，P(4)0.84，则P(0)()A0.16 B0.32 C0.68 D0.84【例42】已知三个正态分布密度函数i(x)(xR，i1,2,3)的图像如图所示，则()A123，123 B123，123C123，123 D123，123方法提炼1若连续型随机变量服从正态分布，即N(，2)，则E，D2，这儿，的意义是期望和标准差在正态分布曲线中确定曲线的位置，而确定曲线的形状如果给出两条正态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的和的大小关系2正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等正态曲线与x轴之间面积为1.请做针对训练1考情分析离散型随机变量的分布列、期望与方差是高考数学中的热点、重点内容之一，题型以解答题为主，有时也以选择题或填空题的形式出现，难度适中确定离散型随机变量的取值，找准其适用的概率模型，求出随机变量的分布列是正确求得其期望与方差的关键对正态分布曲线的性质考查最多的是其对称性，即正态分布曲线关于x对称，也可以推广到P(0)P(0)针对训练1设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图像如图所示，则有()A12，12 B12，12C12，12 D12，122(xx上海高考，理9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：x123P(x)？！？请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E_.3袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量的概率分布；(2)随机变量的数学期望与方差4在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设4名考生选做每一道题的概率均为.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布列及数学期望参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平(2)平均偏离程度标准差2(1)aEXb(2)a2DX3pp(1p)npnp(1p)n4(3)xx集中分散1基础自测1D解析：服从正态分布N(3，2)，曲线关于x3对称，P(3).2D解析：由题意可知，120分以上的人数也占10%，故90分至120分之间的考生人数所占百分比约为40%.3解析：a，b，c成等差数列，2bac，又abc1，EX1a1cca.所以a，b，c，DX.4解：(1)投篮一次，命中次数的分布列为01P0.40.6则Ep0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数服从二项分布，即B(5,0.6)则Enp50.63.考点探究突破【例11】解：(1)由离散型随机变量分布列的性质，得m1，解得m，EX(2)(1)012.(2)方法一：由公式E(aXb)aEXb，得EYE(2X3)2EX323.方法二：由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311PEY(7)(5)(3)(1)1.【例12】解：从10件产品中任取3件共有C种结果从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，其中k0,1,2,3.P(Xk)，k0,1,2,3.随机变量X的分布列是X0123PEX0123.【例21】解：(1)X的分布列是X01234PEX012341.5，DX(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由Da2DX，得a22.7511，即a2.又EaEXb，当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.或【例22】解：EX10.100.810.10(s)，EY20.110.200.410.220.10(s)，则EXEY，所以由期望值难以判断质量的好坏又因为DX(10)20.1(00)20.8(10)20.10.2(s2)，DY(20)20.1(10)20.2(00)20.4(10)20.2(20)20.11.2(s2)所以DXDY，可见乙的波动性大，甲的稳定性好，故甲的质量高于乙【例31】解：(1)随机变量X的分布列为X01P0.20.8因为X服从两点分布，故EXp0.8，DXp(1p)0.80.20.16.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即YB(10,0.8)，所以EYnp100.88，DY100.80.21.6.【例32】解：(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，从而n6，p.的分布列为0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)P(3)，得P(A)，或P(A)1P(3)1.【例41】A解析：由正态分布的特征得P(0)1P(4)10.840.16.【例42】D解析：是曲线的对称轴越小，曲线越瘦高；越大，曲线越矮胖演练巩固提升1A解析：正态分布曲线关于直线x对称，它是在x处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线越“矮胖”；反过来，越小，曲线越“瘦高”22解析：设P(1)P(3)a，P(2)b，则2ab1.于是，E()a2b3a2(2ab)2.3解：(1)随机变量可取的值为2,3,4，P(2)；P(3)；P(4)，所以随机变量的概率分布列为x234P(x)(2)随机变量的数学期望E234；随机变量的方差D(22.5)2(32.5)2(42.5)2.4解：(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB”，且事件A、B相互独立P(AB)P(A)P(B)P()P().(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且B.P(k)(k0,1,2,3,4)变量的分布列为01234PE012342.