2019-2020年高考数学总复习 第八章8.3 圆的方程.doc

2019-2020年高考数学总复习 第八章8.3 圆的方程考纲要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程知识梳理1圆的定义在平面内，到_的距离等于_的点的_叫做圆确定一个圆最基本的要素是_和_2圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中_为圆心，_为半径长特别地，当圆心在原点时，圆的方程为_3圆的一般方程对于方程x2y2DxEyF0.(1)当_时，表示圆心为，半径长为的圆；(2)当_时，表示一个点；(3)当_时，它不表示任何图形；(4)二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是4点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：_；(2)点在圆外：_；(3)点在圆内：_.基础自测1方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()Am1 Bm1Cm Dm或m12圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)213若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da14圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.思维拓展1二元二次方程x2y2DxEyF0是否都表示一个圆？提示：对于该二元二次方程，只有当D2E24F0时，才表示一个圆；当D2E24F0时，表示点；当D2E24F0时，不表示任何图形2求圆的方程时，应注意什么？提示：圆的方程由圆心坐标和半径确定求圆的方程可从确定这两个条件入手，也可先用待定系数法设出其方程，再确定其中的参数一般地，若利用半径列方程，通常设为标准形式；否则，设成一般式无论选用哪种形式，最多需要三个独立的条件一、求圆的方程【例11】求经过点A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线2xy30上的圆的方程【例12】已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？方法提炼常见的求圆的方程的方法有两种：一是利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程如果给定的条件易求圆心坐标和半径长，则选用标准方程求解；如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，常选用一般方程求解请做针对训练3二、与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值方法提炼处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题请做针对训练5三、与圆有关的轨迹问题【例3】如下图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1，|O1O2|4.过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程方法提炼1解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆的几何性质列方程；代入法，找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式此外还有交轨法、参数法等不论哪种方法，充分利用圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题关键2求与圆的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应有不同：若求轨迹方程，把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么样的曲线请做针对训练4考情分析通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查主要侧重以下两点：(1)利用配方法把圆的一般式方程转化成标准式方程，并能指出圆心坐标及半径长；(2)求圆的方程，方法主要有配方法、待定系数法、数形结合法等考查的形式以选择题、填空题为主针对训练1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3) C(2，3) D(2，3)2(xx安徽高考，文4)若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1 B1 C3 D33求半径为，圆心在直线y2x上，被直线xy0截得的弦长为4的圆的方程4已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹5如果实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求xy的最大值与最小值参考答案基础梳理自测知识梳理1定点定长集合圆心半径2(a，b)rx2y2r23(1)D2E24F0(2)D2E24F0(3)D2E24F0(4)AC0B0D2E24AF04(1)(x0a)2(y0b)2r2(2)(x0a)2(y0b)2r2(3)(x0a)2(y0b)2r2基础自测1D解析：方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是(4m)2(2)245m0，即m或m1.2A解析：设圆心为(0，a)，则1，a2.故圆的方程为x2(y2)21.3A解析：点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，(1a)2(1a)24，即1a1.43解析：圆C的标准方程为(x1)2(y2)21，其圆心为(1,2)圆心C到直线的距离为3.考点探究突破【例11】解：方法一：圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上线段AB的垂直平分线的方程为y(x4)设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有解得C(2,1)，r|CA|.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.方法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则解得圆的方程为(x2)2(y1)210.方法三：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D4，E2，F5.所求圆的标准方程为x2y24x2y50.【例12】解：设经过A，B，C三点的圆的方程为(xa)2(yb)2r2.则解此方程组，得所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x1)2(y3)25.把点D的坐标(1,2)代入上面方程的左边，得(11)2(23)25.所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x1)2(y3)25.【例2】解：(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径长的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.【例3】解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(2,0)，O2(2,0)由已知|PM|PN|，得|PM|22|PN|2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO1|212(|PO2|21)设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21，化简，得(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y233.演练巩固提升针对训练1D解析：x2y24x6y0可化为(x2)2(y3)213，圆心坐标为(2，3)2B解析：圆x2y22x4y0化为标准方程：(x1)2(y2)25，可得圆心(1,2)直线过圆心，将(1,2)代入直线3xya0，可得a1.3解：设圆心C(a,2a)，圆心到直线xy0的距离为d，则d|a|.r，由垂径定理知2，即10a28，a24.a2.故所求圆的方程为(x2)2(y4)210，或(x2)2(y4)210.4解：设M(x，y)，A(x0，y0)，则有x，y.x02x4，y02y3.又A(x0，y0)在圆(x1)2y24上，(x01)24.(2x41)2(2y3)24，即221.故AB的中点M的轨迹是以为圆心，以1为半径长的圆5解：设xyb，则yxb，由图知，当直线与圆C相切时，截距b取最值而圆心C到直线yxb的距离为d.因为当，即b62时，直线yxb与圆C相切，所以xy的最大值与最小值分别为62与62.