2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性.doc

2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性知 识 梳 理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)(2)在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()2(xx广东卷)下列函数为奇函数的是()A.y2xByx3sin x Cy2cos x1Dyx22x解析易知y2x是奇函数，yx3sin x和y2cos x1是偶函数，yx22x是非奇非偶函数，故选A.答案A3(xx新课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析依题意得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错答案C4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 015)等于()A2B2 C98D98解析f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 015)f(50343)f(3)f(1)又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2122，即f(2 015)2.答案A5(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_.解析当x0时，则x0，f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x)答案x(1x)考点一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xlg(x)；(2)f(x)(1x)；(3)f(x)(4)f(x).解(1)|x|0，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)lg(x)xlg(x)xlg(x)f(x)即f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)当且仅当0时函数有意义，1x1，由于定义域关于原点不对称，函数f(x)是非奇非偶函数(3)函数的定义域为x|x0，关于原点对称，当x0时，x0，f(x)x22x1f(x)，当x0时，x0，f(x)x22x1f(x)f(x)f(x)，即函数是奇函数(4)2x2且x0，函数的定义域关于原点对称f(x)，又f(x)，f(x)f(x)，即函数是奇函数规律方法判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【训练1】 (1)(xx郑州质量预测)下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是()Aylog2|x|Bycos 2xCyDylog2(2)(xx日照模拟)函数f(x)log2(x)(xR)与g(x)lg |x2|分别为_和_函数(填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”)解析(1)对于A，函数ylog2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于B，函数ycos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于C，函数y不是偶函数；对于D，函数ylog2不是偶函数，故选A.(2)法一易知f(x)的定义域为R.f(x)log2xlog2log2(x)f(x)，f(x)是奇函数对于g(x)，由|x2|0，得x2.g(x)的定义域为x|x2g(x)的定义域关于原点不对称，g(x)为非奇非偶函数法二易知f(x)的定义域为R.f(x)f(x)log2xlog2(x)log210，即f(x)f(x)，f(x)为奇函数对于g(x)，由|x2|0，得x2.g(x)的定义域为x|x2g(x)的定义域关于原点不对称，g(x)为非奇非偶函数答案(1)A(2)奇函数非奇非偶考点二函数周期性的应用例2 (1)(xx安徽卷)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)则ff_.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)f(x)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.解析(1)由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以ffffffffsin .(2)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)2.5.答案(1)(2)2.5规律方法函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值【训练2】 (xx长春一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数若当x0,1)时，f(x)2x1，则f(6)的值为()AB5 CD6解析f(x)是周期为2的奇函数f(6)fff(2log21).答案C考点三函数性质的综合应用例3 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)(2)(xx新课标全国卷)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.解析(1)f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)(2)因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(x)f(4x)，f(x)f(4x)，又f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，则f(1)f(41)f(3)3.答案(1)D(2)3规律方法比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断【训练3】 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(a)2f(1)，则a的取值范围是()A1,2B 深度思考你知道奇偶性与单调性的关系了吗(奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反)？在解决有关偶函数问题时，常利用f(x)f(|x|)这一结论进行转化.C.D(0,2解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)，又因为alog2a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)f(a)2f(log2a)2f(|log2a|)2f(1)，即f(|log2a|)f(1)，又函数在0，)上单调递增，所以0|log2a|1，即1log2a1，解得a2.答案C思想方法1奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)2已知函数的奇偶性求参数问题的一般思路是：利用函数的奇偶性的定义，转化为f(x)f(x)(或f(x)f(x)对xR恒成立，从而可轻松建立方程，通过解方程，使问题获得解决3若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常数且a0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数易错防范1在用函数奇偶性的定义进行判断时，要注意自变量在定义域内的任意性不能因为个别值满足f(x)f(x)，就确定函数的奇偶性2分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性3函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(xx重庆卷)下列函数为偶函数的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x解析函数f(x)x1和f(x)x2x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)2x2x，则f(x)2x2x(2x2x)f(x)，所以f(x)2x2x为奇函数，排除选项C；选项D中f(x)2x2x，则f(x)2x2xf(x)，所以f(x)2x2x为偶函数，故选D.答案D2(xx乌鲁木齐诊断)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)21，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)，故选A.答案A3已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4B3 C2D1解析由题意知：f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，得g(1)3.答案B4(xx福建统一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在0，)上单调递增，若f(lg x)0，则x的取值范围是()A(0,1)B(1,10)C(1，)D(10，)解析依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0，不等式f(lg x)0f(0)等价于lg x0，故0x1，故选A.答案A5(xx山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()Af(x)Bf(x)x2Cf(x)tan xDf(x)cos(x1)解析由f(x)f(2ax)，yf(x)关于直线xa对称(a0)，题中四个函数中，存在对称轴的有B，D，而B中f(x)x2的对称轴为x0，不满足题意，故选D.答案D二、填空题6函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)_.解析f(x)为奇函数，x0时，f(x)1，当x0时，x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，f(x)(1)1.答案17(xx湖南卷)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.解析由题意知，f(x)的定义域为R，所以f(1)f(1)，从而有ln(e31)aln(e31)a，解得a.答案8(xx四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.解析f(x)的周期为2，ff，又当1x0时，f(x)4x22ff4221.答案1三、解答题9f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x0时， x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)2x23x1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)10设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 014)(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.能力提升题组(建议用时：25分钟)11(xx石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4)B(2,1)C(1,2)D(1,0)解析因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)f(1)f(1)，即1，化简得(a4)(a1)0，解得1a4，故选A.答案A12(xx郑州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为()A6B7 C8D9解析因为当0x2时，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，所以f(3)f(5)0.故函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.答案B13已知函数yf(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1x)f(1x)当x(2,3)时，f(x)log2(x1)给出以下4个结论：函数yf(x)的图象关于点(k,0)(kZ)成中心对称；函数y|f(x)|是以2为周期的周期函数；当x(1,0)时，f(x)log2(1x)；函数yf(|x|)在(k，k1)(kZ)上单调递增其中所有正确结论的序号为_解析因为f(2x)f(1(1x)f(x)f(x)，所以f(x)的周期为2，因为f(x)为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(2,0)对称，先作出函数f(x)在(2,3)上的图象，然后作出在(1,2)上的图象，左右平移即可得到f(x)的草图如图所示，由图象可知f(x)关于点(k,0)(kZ)对称，故正确；由y|f(x)|的图象可知y|f(x)|的周期为2，故正确；当1x0时，22x3，f(2x)log2(1x)f(x)，即f(x)log2(1x)，故正确；yf(|x|)在(1,0)上为减函数，故错误答案14设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调区间解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间为4k1,4k3(kZ).