资源描述
2019-2020年高考数学二轮复习 限时训练6 导数的应用 理1已知函数f(x)ax(1a)ln x.(1)当a2时,求曲线yf(x)在x1处的切线方程;(2)若a0,讨论函数f(x)的单调性解:(1)当a2时,f(x)2xln x,f(x)2,又f(1)0,f(1)3,所以曲线f(x)在x1处的切线方程为y3.(2)f(x)a(x0),当a0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增;若a0,f(x)0,解得x11,x2,当1a0时,f(x)在(0,1)和上单调递减,在上单调递增;当a1时,f(x)在(0,)上单调递减;当a1时,f(x)在和(1,)上单调递减,在上单调递增2已知函数f(x)ln x,x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值;(2)若f(x)4at对任意的x1,3,t0,2恒成立,求实数a的取值范围;解:(1)函数f(x)ln x,f(x),令f(x)0得x2,x1,3,当1x2时,f(x)0;当2x0;f(x)在(1,2)上是单调减函数,在(2,3)上是单调增函数,f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2;又f(1),f(3)ln 3,ln 31,ln 310,f(1)f(3),x1时f(x)的最大值为,x2时函数取得最小值为ln 2.(2)由(1)知当x1,3时,f(x),故对任意x1,3,f(x)对任意t0,2恒成立,即at恒成立,记g(t)at,t0,2,解得aa2成立,求实数m的取值范围解:(1)由已知,得f(x)2ax(x0)当a0时,恒有f(x)0,则f(x)在(0,)上是增函数当a0时,若0x0,故f(x)在上是增函数;若x,则f(x)0,故f(x)在上是减函数综上,当a0时,f(x)在(0,)上是增函数;当aa2成立,等价于maa2f(x)max.因为a(4,2),所以2a,即ma2.因为a(4,2),所以2a20时,x(0,)时,f(x)0,x时,f(x)0,所以函数f(x)在,(0,)上单调递增,在上单调递减;当a0,x时,f(x)0,所以函数f(x)在(,0),上单调递增,在上单调递减(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)b,fa3b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0时,a3ac0或当a0时,a3ac0.设g(a)a3ac,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(,3),则在(,3)上g(a)0均恒成立,从而g(3)c10,且gc10,因此c1.此时,f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因为函数有三个零点,则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根,所以(a1)24(1a)a22a30,且(1)2(a1)1a0,解得a(,3).综上c1.
展开阅读全文