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2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的连续性(I)1.函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.2.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)f(x)存在；(3)f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义3.函数连续性的运算:若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x)，(g(x)0)也在点x0处连续。若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数fu(x)在点x0处连续。4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是a，b，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在a，b上连续的定义：如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间a，b上连续,或f(x)是闭区间a，b上的连续函数.6. 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间a，b上的连续函数，那么f(x)在闭区间a，b上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、 问题讨论点击双基1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A2.f（x）=的不连续点为A.x=0B.x=（k=0,1,2,）C.x=0和x=2k（k=0,1,2,）D.x=0和x=（k=0,1,2,）解析：由cos=0,得=k+（kZ）,x=.又x=0也不是连续点,故选D答案：D3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是A. B. C. D.答案：A4.四个函数:f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是_.（把你认为正确的代号都填上）答案：例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性 ，点x=0； ，点x=1。解：（1）当x0时，因此=1，而=1，在x=0处极限不存在，因此在x=0处不连续。（2），因此函数在x=1处连续。【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。剖析：（1）需判断f（x）=f（x）=f（0）.（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.解:（1）f（x）=1, f（x）=1,f（x）f（x）,f（x）不存在.f（x）在x=0处不连续.（2）f（x）在x=3处无定义,f（x）在x=3处不连续.f（x）在区间0,3上不连续.练习：讨论函数的连续性；适当定义某点的函数值，使在区间(3,3)内连续。 解：显然函数的定义域为，当时，在上连续，在上连续。而在处不连续。又，不妨设，于是此时，在区间(3,3)内连续。解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,f（x）在（,+）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a0)个单位后,向左转900,前进ar (0r1)个单位,再向左转900,以前进ar2 个单位,.,如此连续下去(1) 若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?(2) 若其中的r 为变量,且0r1 ,则行动的最终目的地在怎样的一条直线上?备用：例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：是否存在实数根。解：设，则在R上连续，又，因此在3，0内必存在点x0使得，所以x0是方程的一个实数根，因此方程有实根。【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数的图象是否与x轴有交点。五、小结 1函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；）函数f(x)在x=x0处有极限；）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。2如果函数f(x)在闭区间a,b上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值。