2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的极值(I).doc

2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的极值(I)教学目的：1. 熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用 教学重点：极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握教学难点：求可导函数的极值.授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式：；2.法则1 法则2 , 法则3 3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或fx( (x)=f(u) (x)4.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 5.对数函数的导数： 6.指数函数的导数： 7. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 （）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点12. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值13. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值二、讲解范例：例1 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的( )A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C. 充要条件由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件.由极大值点的定义，任意xx0，f(x)f(x0) 所以左侧是增函数，所以f(x)0，任意xx0，f(x)f(x0).所以右侧是减函数，所以f(x)0，所以x0两侧的导数异号当x0是极小值时，同样可以证明例2下列函数中，x=0是极值点的函数是(B)A.y=x3 B.y=cos2xC.y=tanxx D.y=分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了.解：A. y=x3，y=(x3)=3x2，当x0或x0时，y0x=0不是极值点B. y=cos2x.y=(cos2x)=2cosx(sinx)=sin2x. 当x0时，sin2x0，y0. 当x0时，sin2x0，y0.x=0是y=cos2x的极大值点C. y=tanxx，y=(tanxx)=1,当x0或x0时，0cos2x1，y0.x=0不是极值点 D. y=. y=()=, 当x0或x0时，y0，x=0不是极值点 故选B 例3下列说法正确的是(C)A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若p，则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值 答案：C f(x)=x3+px2+2x+1.f(x)=3x2+2px+2.=4p2432=4(p26) 若p.则0，f(x)=0无实根，即f(x)0 f(x)无极值.选项A、B、D可以通过举出反例说明是假命题例4 函数f(x)=asinx+sin3x在x=处具有极值，求a的值分析：f(x)在x=处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f()=0可求出a的值.解：f(x)=(asinx+sin3x)=acosx+cos3xf()=0，acos+cos3=0， a1=0，a=2.例5 y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值解：y=(alnx+bx2+x)=+2bx+1yx=1=0，yx=2=0例6 确定函数y=的单调区间，并求函数的极大、极小值解：y=令0，解得1x1y=的单调增区间为(1，1) 令0，解得x1或x1y=的单调减区间为(，1)与(1，+) 令y=0，解得x1=1，x2=1当x变化时，y，y的变化情况如下表:-1(-1,1)10+0极小值极大值当x=1时，y有极小值，且y极小值=当x=1时，y有极大值，且y极大值=例7 求函数y=的极值与极值点解：y=()令y=0，解得x=x变化时，y，y的变化情况如下表：+0极大值当x=时，y有极大值，且y极大值=例8 求函数y=x2lnx的极值解：定义域为(0，+)y=(x2lnx)=2xlnx+x2=2xlnx+x=x(2lnx+1) 令y=0，得x=当x变化时，y，y的变化情况如下表:0+极小值当x=时，y有极小值，且y极小值= 三、课堂练习：求下列函数的极值.1.y=2x2+5x解：y=(2x2+5x)=4x+5. 令y=0，解得x=当x变化时，y，y的变化情况如下表:0+极小值当x=时，y有极小值，且y极小值=2.y=3xx3解：y=(3xx3)=33x2=3(1+x)(1x) 令y=0，解得x1=1，x2=1当x变化时，y，y的变化情况如下表：-1(-1,1)10+0极小值2极大值2当x=1时，y有极小值，且y极小值=2当x=1时，y有极大值，且y极大值=2 四、小结 ：这节课主要复习巩固了求可导函数的极值的方法，以及有关极值问题的题目，注意极大、极小值与最大、最小值的区别 极值点的充分条件、必要条件五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：