2019-2020年高二数学运用空间向量求距离和角.doc

2019-2020年高二数学运用空间向量求距离和角立体几何中经常遇到求空间角和距离问题，这是立几学习中的一大难点，解决这类问题通常是作出角和垂线段，将空间问题转化为平面问题求解，但有些题目不易作出角和垂线段，如果应用法向量结合向量的坐标运算就能有效地解决这个难点。先看下面两个事实：定理：平面外一点到这个平面的距离等于以点为起点和平面内任意一点A为终点的向量 ，在这个平面的法向量上的射影的长度d=| 证明：设点P是平面a外一点，点Aa, 为平面a的法向量，如图，若与共线，结论显然成立。若与不共线，平移使其起点与点A重合，作点P在上的射影点，则为向量在方向上的射影，且=| cos ，又=| cos所以=，而从点P到平面的距离是 d=| 推论：异面直线L1和L2间的距离，等于分别从L1上一点M和L2上一点N为起点和终点的向量在L1和L2的公共法向量上的射影的长度 |=| 。基于以上事实，我们就可应用法向量来求解立体几何中的空间角和距离问题。例1 如图3，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。（1） 求点D到BE的距离；（2） 求点D到面BEF的距离；（3） 求BD与面BEF所成的角。解：（1）以点A为原点建立如图3所示的空间直角坐标系，因E、F分别是A1B1和B1C1的中点，所以B（4，0，0），E（2，0，4），D（0，4，0），则=（-2，0，4），=（-4，4，0）在方向上的射影为= 点D到BE的距离为 d= (2)设=（x,y,1）为平面BEF的法向量，则，=（0，2，4），=-2x+4=0, =2y+4=0x=2, y=-2=(2,-2,1)向量在方向上的射影为点D到面BEF的距离为 .(3)设BD与面BEF所成的角为q，则sinq=|cos|=|=|=BD与面BEF所成的角是arcsin 。本题利用法向量求解点到直线、点到平面和直线与平面的成角问题。例2 如图4，正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都是a ,O、D 分别是AC、A1C1中点，求异面直线B1D与A1B的距离。解：因O、D分别是正三棱柱ABC-A1B1C1中AC、A1C1的中点，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，A1（，0，a ）,B1(0,a) , D(0,0,a) , 所以= ，=（-，0，0）设和的公共法向量为=（x,y,1）, 则由，有=0+0=0 ，得y=0；由，有=，得x=-2=（-2，0，1）异面直线DB1与A1B间的距离为d=本题利用异面直线公共法向量求解异面直线间的距离。例3 如图5，平面EAD平面ABCD，DADE是等边三角形，ABCD是矩形，F、G分别是AB、AD的中点，EC与平面ABCD成角300角。(1)求证：EG平面ABCD；(2)若AD=2，求二面角E-FC-G的度数。证明(1)（略）解(2)：由（1）知EG平面ABCD，故可取点G为原点，GE、AD所在的直线为z轴和x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可求得DC=AB=，则E（0，0，），C（-2，-，0），设=(x,y,1)为平面EFC的法向量 , 则由且得-x-2y+=0且-2x-y=0x= , y=(,1)取平面ABCD的法向量为=(0,0,1)则与所成的角(或其补角)为所求的二面角.cos=450二面角E-FC-G为450本题利用组成二面角的两面的法向量所成的角(或其补角)求解二面角问题.