2019-2020年高考数学一轮复习 第六篇 数列 第3讲　等比数列及其前n项和教案 理 新人教版.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 第六篇 数列 第3讲等比数列及其前n项和教案 理 新人教版【xx年高考会这样考】1以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定2考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用【复习指导】本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用基础梳理1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn. 一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qn，Sn(q1) 两个防范(1)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2且nN*)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列双基自测1(人教A版教材习题改编)在等比数列an中，如果公比q1，那么等比数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D无法确定数列的增减性解析当a10,0q1，数列an为递减数列，当q0，数列an为摆动数列答案D2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A B2 C2 D.解析由题意知：q3，q.答案D3在等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4 B8 C16 D32解析由等比数列的性质得：a2a6a16.答案C4设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则()A11 B8 C5 D11解析设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2a50，所以8a1qa1q40.q380，q2，11.答案A5(xx广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_.解析设an的公差为d，由S9S4及a11，得91d41d，所以d.又aka40，所以0，即k10.答案10考向一等比数列基本量的计算【例1】(xx全国)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330.求an和Sn.审题视点 列方程组求首项a1和公差d.解设an的公比为q，由题设得解得或当a13，q2时，an32n1，Sn3(2n1)；当a12，q3时，an23n1，Sn3n1. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解【训练1】 等比数列an满足：a1a611，a3a4，且公比q(0,1)(1)求数列an的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn21，求n的值解(1)a3a4a1a6，又a1a611，故a1，a6看作方程x211x0的两根，又q(0,1)a1，a6，q5，q，ann1n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.考向二等比数列的判定或证明【例2】(xx长沙模拟)已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式审题视点 第(1)问把bnan1an中an1换为整理可证；第(2)问可用叠加法求an.(1)证明b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.当n1时，111a1，ann1(nN*) 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可【训练2】 (xx四川)设d为非零实数，anCd2Cd2(n1)Cdn1nCdn(nN*)(1)写出a1，a2，a3并判断an是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设bnndan(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知可得a1d，a2d(1d)，a3d(1d)2.当n2，k1时，CC，因此anCdkCdkdCdkd(d1)n1.由此可见，当d1时，an是以d为首项，d1为公比的等比数列；当d1时，a11，an0(n2)，此时an不是等比数列(2)由(1)可知，and(d1)n1，从而bnnd2(d1)n1Snd212(d1)3(d1)2(n1)(d1)n2n(d1)n1当d1时，Snd21.当d1时，式两边同乘d1得(d1)Snd2(d1)2(d1)2(n1)(d1)n1n(d1)n，式相减可得dSnd21(d1)(d1)2(d1)n1n(d1)nd2.化简即得Sn(d1)n(nd1)1.综上，Sn(d1)n(nd1)1.考向三等比数列的性质及应用【例3】已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和审题视点 利用等比数列的性质：依次n项的和成等比数列解Sn2，其后2n项为S3nSnS3n212，S3n14.由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，即(S2n2)22(14S2n)解得S2n4，或S2n6.当S2n4时，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为2，公比为3的等比数列，则S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后3n项的和为S6nS3n36414378.当S2n6时，同理可得再后3n项的和为S6nS3n12614112.故所求的和为378或112. 本题利用了等比数列的性质中的第4条，其和Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，若把数列an平均分成若干组，其积也为等比数列【训练3】 (xx北京)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.解析设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数列|an|的公比为|q|2，则|an|2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.答案22n1规范解答11怎样求解等差与等比数列的综合性问题【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化.【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量：首项和公差及公比，再灵活利用性质转化条件，以及利用等差、等比数列的相关知识解决.【示例】(本题满分12分)(xx湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列 正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列bn的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问解答示范 (1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15，解得a5.(2分)所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，由(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)(4分)故bn的第3项为5，公比为2，由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn2n152n3.(6分)(2)证明数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.(8分)所以S1，2.(10分)因此是以为首项，公比为2的等比数列(12分) 关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量【试一试】 (1)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，若数列an唯一，求a的值；(2)是否存在两个等比数列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由尝试解答(1)设an的公比为q，则b11a，b22aq，b33aq2，由b1，b2，b3成等比数列得(2aq)2(1a)(3aq2)，即aq24aq3a10.由a0得，4a24a0，故方程有两个不同的实根再由an唯一，知方程必有一根为0，将q0代入方程得a.(2)假设存在两个等比数列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列设an的公比为q1，bn的公比为q2，则b2a2b1q2a1q1，b3a3b1qa1q，b4a4b1qa1q.由b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成等差数列得即q2得a1(q1q2)(q11)20，由a10得q1q2或q11.)当q1q2时，由得b1a1或q1q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾)当q11时，由得b10或q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾综上所述，不存在两个等比数列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列