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2019-2020年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明课后导练苏教版选修课后导练基础达标1反证法是（）A. 从结论的反面出发,推出矛盾的证法B. 对其否命题的证明C. 对其逆命题的证明D. 分析法的证明方法答案：A2命题“ABC中,若AB, 则ab”的结论的否定应该是（）A. abB. abC. a=bD. ab解析：“大于”的否定是“不大于”即“小于”或“等于”.答案：B3命题“关于x的方程ax=b(a0)的解是唯一的”的结论的否定是（）A. 无解B. 两解C. 至少两解D. 无解或至少两解解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面应该为D.答案：D4如果两个实数之和为正数,则这两个数（）A. 一个是正数,一个是负数B. 两个都是正数C. 至少有一个是正数D. 两个都是负数解析：由反证法的意义知C真.答案：C5在数列:11,111,1 111,中（）A. 有完全平方数B. 没有完全平方数C. 有偶数D. 没有3的倍数解析：易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假.假设有完全平方数，它必为奇数的平方.设为=(2K+1)2(K为正整数)，则 0=4K（K+1），两边除以2得=2K（K+1），此式左边为奇数，而右边为偶数，自相矛盾.答案：B6有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说：“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理，可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.答案：C7反证法的关键是推出矛盾,通常可导致哪些方面的矛盾?_.答案：与已知定义、公理、定理及明显数学事实相矛盾，与已知条件相矛盾，与假设自相矛盾等8在空间是否存在这样的多面体,它有奇数个面,且它的每个面又都有奇数条边? _.解析：假设多面体有n个面（n为奇数），且每个面的边数分别为S1，S2，Sn（Si为奇数，i=1,2,n），则多面体的总边数为S，因为每条边都是公用的，所以S1+S2+Sn=2S.这里左边为奇数个奇数的和，为奇数；但右边为偶数，矛盾.答案：不存在（或不可能有）9对于函数f(x)=,找不到这样的正数A,使得在整个定义域内|f(x)|A恒成立,试加以证明.证明：f(x)的定义域为（-,0）(0,+).假设存在一个正数A，使得当x0时，恒有|f(x)|A成立，即|A(A0)对x0恒成立.我们取x=代入上式，得A,即|2A|A.A0,2AA,即21.这就导致矛盾，于是命题得证.10求证:正弦函数没有比2小的正周期.证明：假设T是正弦函数的周期，且0T2，则对任意实数x都有sin(x+T)=sinx成立，令x=0，得sinT=0,即T=k,kZ.又0T2,故T=,从而对任意实数x都有sin(x+)=sinx，这与sin(+)sin矛盾.所以正弦函数没有比2小的正周期.综合运用11若a、b、c、d都是有理数,都是无理数,证明当时,必有a=b,c=d.证明：假设ab,令a=b+m(则m是不等于零的有理数)，于是b+m+=b+.m+=,两边平方整理得,左边是无理数右边是有理数，矛盾，因此a=b.从而又得c=d.12试证明抽屉原理:如果将m个物体放在n个抽屉里,则至少有一个抽屉含有+1个物体(其中表示不超过的最大整数).命题简单化就是:把5个苹果放进 2个抽屉里,则可断言至少有一个抽屉放着不少于3个的苹果.证明：（用反证法）小于m的n的最大倍数是由减去其分数部分所得的整数，即是.假设不存在有一个抽屉含有+1个物体，即每个抽屉含的物体最多是个，而总共有n个抽屉，所以这n个抽屉所含的物体的总数小于等于nn=m-1m,这与已知有m个物体矛盾，所以至少有一个抽屉里有+1个（或更多）物体.拓展探究13用反证法证明:若函数f(x)在区间a,b上是增函数,那么方程f(x)=0在区间a,b上至多只有一个实根.思路分析：函数f(x)在区间a,b上是增函数，就是表明对区间a,b上任意x1,x2，若x1x2，则f(x1)f(x2)，所以如果反设方程f(x)=0在区间a,b上至少有两个根,() ，则有f()=f()=0这与假设矛盾.证明：假设方程f(x)=0在区间a,b上至少有两个实根，设、为其中的两个实根.因为,不妨设，又因为函数f(x)在a,b上是增函数，所以f()f().这与假设f()=0=f()矛盾,所以方程f(x)=0在区间a,b上至多只有一个实根.
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