2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第四章 几个初等函数的性质.doc

2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第四章 几个初等函数的性质一、基础知识1指数函数及其性质：形如y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+），当0a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2分数指数幂：。3对数函数及其性质：形如y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为R，图象过定点（1，0）。当0a1时，y=logax为增函数。4对数的性质（M0, N0）；1）ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).5. 函数y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）6连续函数的性质：若ab, f(x)在a, b上连续，且f(a)f(b)0.【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0（因为-1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.例2 （柯西不等式）若a1, a2,an是不全为0的实数，b1, b2,bnR，则（）（）()2，等号当且仅当存在R，使ai=, i=1, 2, , n时成立。【证明】 令f(x)= （）x2-2()x+=,因为0，且对任意xR, f(x)0，所以=4()-4（）()0.展开得（）()()2。等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=, i=1, 2, , n。例3 设x, yR+, x+y=c, c为常数且c(0, 2，求u=的最小值。【解】u=xy+xy+2=xy+2.令xy=t，则0t=xy,设f(t)=t+,0t因为0c2，所以00，所以=例5 对于正整数a, b, c(abc)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=257.若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.又abc，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得，因为ac0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3指数与对数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为=1。设f(x)= , 则f(x)在(-,+)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.例8 解方程组：（其中x, yR+）.【解】 两边取对数，则原方程组可化为 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得x+y=6，代入得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y0，所以y=2, x=4.所以方程组的解为 .例9 已知a0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.若、同时成立，则必成立，故只需解. 由可得2kx=a(1+k2)， 当k=0时，无解；当k0时，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0，则k21，所以0k1.综上，当k(-,-1) (0, 1)时，原方程有解。三、基础训练题1命题p: “(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y0”的_条件。2如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_.3已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|1的解集为_。4若log2a0，则a 取值范围是_。5命题p: 函数y=log2在2，+）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_条件。6若0b0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为_。8若x=，则与x最接近的整数是_。9函数的单调递增区间是_。10函数f(x)=的值域为_。11设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中n为给定正整数, n2, aR.若f(x)在x(-,1时有意义，求a的取值范围。12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式x2-logmx0在x时恒成立，则m的取值范围是_.3若xx|log2x=2-x，则x2, x, 1从大到小排列是_.4. 若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_.5. 命题p: 函数y=log2在2，+）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_条件.6若0b0且a1，比较大小：|loga(1-b)| _|loga(1+b)|.7已知f(x)=2+log3x, x1, 3，则函数y=f(x)2+f(x2)的值域为_.8若x=，则与x最接近的整数是_.9函数y=的单调递增区间是_.10函数f(x)=的值域为_.11设f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中n为给定正整数，n2,aR。若f(x) 在x(-,1时有意义，求a的取值范围。12当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？四、高考水平训练题1函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_.2已知不等式x2-logmx10, y10, xy=1000，则(lgx)(lgy)的取值范围是_.7若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是_.8函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b, c应满足的充要条件是_.（1）b0；（2）b0且c0；（3）b0且c=0；（4）b0且c=0。9已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是_函数（填奇偶性）.10已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|1, |b|1，则f(a)+f(b)=_.11设aR，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。12设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0ab, f(a)=f(b)=2f，求证：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b0且a1, f(x)=loga(x+)(x1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n) x1 x2 x30，都有log1993+ log1993+ log1993 klog1993恒成立，则k的最大值为_.3实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为_.4已知0b1, 000的解集为_.9已知a1, b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).10（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。11对于任意nN+(n1)，试证明：+=log2n+log3n+lognn。六、联赛二试水平训练题1设x, y, zR+且x+y+z=1，求u=的最小值。2当a为何值时，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga30有且只有一个解（a1且a1）。3f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y1及u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，试确定所有这样的函数f(x).4. 求所有函数f：RR，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。5设m14是一个整数，函数f：NN定义如下：f(n)=,求出所有的m,使得f(1995)=1995.6求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, yQ.7是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。8设p, q是任意自然数，求证：存在这样的f(x) Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x, 有9设，为实数，求所有f: R+R，使得对任意的x,yR+, f(x)f(y)=y2f成立。